Методические указания по решению задач

Практикум по решению задач охватывает основные вопросы механики жидкостей. Типовые задачи имеют решения с подробными пояснениями. Выполнение контрольного задания позволяет оценить степень усвоения студентом теоретического материала.

Раздел «Гидростатика»

Задача 1. Что больше: 3000 мм. рт. ст. или 0,5 МПа? Найти их разницу.

Дано: Решение:

P₁ = 3000 мм.рт.ст. Переводим единицы давления в систему СИ:

P₂ = 0,5 Мпа P₁ = 3000 мм.рт.ст.= 3000 · 133,3 Па = 399900 Па

= 3,999 · 10⁵ Па;

P₂ = 0,5 Мпа = 5 · 10⁵ Па;

P₁ – P₂ =?

P₁ – P₂ = 3,999 · 10⁵ Па - 5 · 10⁵ Па = 10⁵ Па (3,999 – 5) = - 1, 001 · 10⁵ Па =

= - 10⁵ Па.

Ответ: первое давление меньше второго на 10⁵ Па.

Задача 2. Определить давление в точке В под слоем масла высотой Н = 2 м., если давление воздуха над маслом Р₀ = 3 кгс/см ² . Плотность масла принять равной 0,75 г/см ³.

Дано:

Н = 2 м

Р₀ = 3 кгс/см ² = 3 · 9,8 · 10⁴ Па.

r = 0,75 г/см ³ = 750 кг /м³ .

Р =?

Решение:

Согласно закону Паскаля давление в точке В под слоем жидкости определяется как сумма давления над поверхностью жидкости Р₀ и давления столба жидкости высотой Н:

Р = Р₀ + r g H (1-1)

Подставим в формулу (1-1) численные значения указанных величин (в системе СИ) и произведём расчеты.

Р = 3 · 9,8 · 10⁴ Па + 750 кг /м³ · 9,8 м/с² · 2 м = 3,09 · 10⁵ Па.

Ответ: давление под слоем жидкости на глубине Н:

Р= 3,09 · 10⁵ Па = 309 КПа.

Задача 3. Определить силу давления воды на скафандр водолаза площадью 2 · 10⁴ см², находящегося на глубине 80 м от поверхности воды. Плотность воды принять равной 10³ кг /м³

Дано: Решение:

S = 2,0 · 10⁴ см² Определим силу давления воды на скафандр водолаза:

Н = 80 м F = P S = r g H S = 10³ кг /м³ · 9,8 м/с² · 80 м · 2,0 м²

m = 100 кг F = 1,57 · 10⁶ н;

F =? Ответ: F = 1,57 · 10⁶ н =1,57 Мн.

Задача 4. Запаянная с одного конца стеклянная трубка погружена в сосуд с жидкостью открытым концом. Определить давление воздуха в трубке над жидкостью, если уровень жидкости в ней оказался на 0,5 м выше уровня жидкости в сосуде. Жидкость – ртуть, её плотность равна 13,6 г/см ³. Атмосферное давление принять равным 760 мм. рт. ст.

Дано: Решение:

Н = 0,5 м,

r = 13,6 г/см ³ = 13600 кг /м³, В точках 1 и 2 давления одинаковы,

Р_а = 760 мм.рт.ст. т.к. они находятся на одинаковой

высоте

Р_вак =?

Но давление Р₂ = Р_атм; Р₁ = Р + r g H = Р_атм + Р_вак

Приравнивая Р₁ = Р₂, получаем:

Р_вак = - r g H. При откачивании воздуха из трубки (уменьшение давления Р) высота столба жидкости будет расти.

Так как 0,5 м = 500 мм, то давление столба ртути (весовое давление) высотой 500 мм можно выразить в мм.рт.ст.: Р_вак = - 500 мм.рт.ст.

Ответ: Р_вак = - 500 мм.рт.ст = - 500/760 (атм) =- 0,66 атм = -6,67 10⁴Па.

(1 мм.рт.ст=133,3 Па)

Задача 5. Площадь вертикальной стены плотины ГЭС составляет 0,02 км² . Найти силу, действующую на плотину, если уровень воды в плотине составляет 120 м. Плотность воды принять равной 1 г/см ³.

Дано: Решение:

S = 0,02 км² = 2,0 · 10⁴ м² На плоскую стенку в сосуде с жид-

Н = 120 м костью действуют силы давления,

r =1 г/см ³ = 10³ кг /м³ направленные перпендикулярно

к ней.

F =?

С ростом глубины погружения Н растёт и величина

избыточного давления Р = ρ g Н, а следовательно, и сила давления на стенку. Можно показать, что сила давления на вертикальную стенку равна произведению давления в центре стенки на площадь стенки.

F = P_c S,

где P_c = ρ g Н_с = ρ g Н/2 – давление в её центре.

Подставляем значения и получаем:

F = 10 ³ кг /м³ · 9,8 м/с² · 60 м · 2,0 · 10 ⁴ м² = 1,18 · 10 ¹⁰ н = 11,8 Гн.

1 Гн (гиганьютон) = 10 ⁹ н.

Ответ: F = 11,8 Гн.

Задача 6. На стенки цилиндрической трубы диаметром 0,1 м и длиной 1,0 м действует сила 10⁶ н. Определить давление жидкости в трубе. Выразить его в кгс/см².

Дано: Решение:

d = 0,1 м Сила давления жидкости на стенки

L = 1,0 м цилиндрической трубы определяется из

F = 10⁶ н соотношения: F = P ∙ S_пр = Р ∙ d ∙L; S_пр –

площадь проекции трубы на вертикальную

P =? плоскость. Отсюда находим давление жидкости в трубе:

Р = F / d ∙L = 10⁶ н/ 0,1 м ∙ 1,0 м = 10⁷ Па = 10 МПа.

Ответ: Р = 10 Мпа.

Задача 7. Избыточное давление в сосуде измерено с помощью трубчатого пружинного манометра (класс точности 1,5, предельное значение шкалы 1 кгс/см².) и ртутного манометра (высота ртутного столба определена с точностью до 2 мм, плотность ртути равна 13600 кг/м ³.). Сравнить абсолютную погрешность измерения давления с помощью этих приборов (найти их отношение).

Дано: Решение:

Р_пред = 1 кгс/см² Согласно определению класса точности трубчатого

∆Н = 2 мм =0,002 м манометра

ρ =13600 кг /м³ β = (∆Р₁ / Р_пред) ∙ 100% = 1,5 (%).

β = 1,5 Отсюда находим абсолютную погрешность

измерения первого манометра:

∆Р₁ =? ∆Р₂ =?

∆Р₁ / ∆Р₂ =?

∆Р₁= Р_пред∙β/100%=1 кгс/см² ∙1,5 %/100%= 0,015 к гс/см²=

= 0,015 · 9,8 ·10⁴ Па = 0,147 · 10⁴ Па = 1,47 · 10³ Па.

У ртутных манометров (и пьезометров) абсолютная погрешность измерения давления находится по формуле:

∆Р₂ = ρ g ∆Н;

Отсюда получаем: ∆Р₂ = 13600 кг /м³ · 9,8 м/с² · 0,002 м = 267 Па.

∆Р₁ - ∆Р₂ = 1,47 · 10³ Па – 267 Па = 1203 Па.

∆Р₁ / ∆Р₂ = 1470 Па/267 Па = 5,5

Ответ: Погрешность измерения давления ртутным манометром

меньше погрешности измерения давления трубчатым пружинным манометром в 5,5 (раз).