Вычисление площади плоской фигуры

Если задана непрерывная функция на [a,b], , то определенный интеграл с геометрической точки зрения представляет собой площадь так называемой, криволинейной трапеции (рис.4.1).

(4.1)

Пусть криволинейная трапеция с основанием [a,b] ограничена снизу кривой (рис.4.2), то из соображений симметрии видим, что

(4.2)

В некоторых случаях, чтобы вычислить площадь искомой фигуры, необходимо разбить ее на сумму или разность двух или более криволинейных трапеций и применить формулы (4.1) или (4.2) (рис.4.3. и 4.4)

Пример 25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. - парабола. Найдем ее вершину и точки пересечения с осями координат.

; или ,

Если , то - вершина параболы.

или или .

- прямая линия.

Найдем абсциссы точек пересечения прямой и параболы:

или .

Для вычисления площади заштрихованной области воспользуемся формулой (4.4)

Пример 26. Вычислить площадь двух частей, на которые круг разделен параболой .

Решение. Сделаем чертеж (рис.4.6)

- окружность с центром

в начале координат и радиусом .

- парабола, имеющая вершину

в т.О(0,0)

Найдем точки пересечения параболы

и окружности:

- не удовлетворяет условию .

Если , то или ,

Найдем площадь заштрихованной области по формуле (4.4), в которой изменены переменные интегрирования:

;

.

.

Найдем площадь второй (незаштрихованной) части, на которую круг разделен параболой

Список рекомендуемой литературы

1. Лунгу К.Н., Макаров Е.В. Высшая математика. Руководство к решению задач. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 216с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. ТТ.1- 2, М.: Интеграл-Пресс, 2001,2002. - 416с., 544с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ЧЧ. 1-2. - М.: Высшая школа, 1980-2000. - 304с., 416с.