Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Интегрирование.
Методические указания по выполнению самостоятельных работ
для студентов групп ПД−11−12, ПДо−21−11, ПДо−22−11
Специальности 23010551
Неопределенный интеграл
Табличное интегрирование. Замена переменной в
неопределенном интеграле
Введем несколько определений, свойств интегралов, формул.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках этого отрезка выполняется равенство .
Если функция имеет первообразную, то функции вида , где С - постоянная, также являются первообразными.
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность (или семейство) всех ее первообразных:
.
Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции и основывается на следующих правилах интегрирования:
а)
б)
в) ;
г) где С - постоянная;
д) ;
е) ;
ж) Если и , то
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
1)
,
где - монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t;
2)
, u - новая переменная.
Таблица основных интегралов
1) ; 2) ;
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13)
14)
15)
16) ;
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
Пример 1. Найти интеграл .
Решение. Используя свойства степеней и правила интегрирования, получим
Пример 2. Найти интеграл .
Решение. Правило ж) позволяет найти интеграл с помощью метода подведения функции под знак дифференциала. Исходный интеграл можно привести к формуле 2 из таблицы интегралов, преобразовав его следующим образом
, где
Далее в качестве переменной выберем , тогда получим интеграл от степенной функции
.
Пример 3. Найти интеграл .
Решение. Применяя тот же прием, что и в предыдущем примере, получим
Пример 4. Найти интеграл .
Решение. Введем новую переменную тогда .
Отсюда получаем
Замечание. Можно было воспользоваться формулой е).
Пример 5. Найти интеграл .
Решение. Выполним подстановку тогда , .
Применив формулу 17, имеем:
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 181 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!