Идеальный газ в поле силы тяжести. Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что газ находится в поле тяготения Земли.

Предположим, что это поле однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова и равна . Гравитационное поле, с одной стороны, и тепловое движение – с другой, приводит к стационарному распределению молекул газа по высоте, при котором давление с высотой убывает.

	Пусть на высоте давление равно , а на высоте соответственно , причем, если , так как давление с высотой убывает. По закону Паскаля
Рис. 5.4

(5.23)

где – плотность газа на высоте h (при малом изменении ).

а

(5.24)

Вычтя из (5.24) (5.23), получим

. (5.25)

Используя уравнение Клапейрона – Менделеева , выразим плотность газа в виде

(5.26)

Подставив выражение (5.26) в (5.25), получим

(5.27)

Разделим переменные, формула (5.27) примет вид

(5.28)

Проинтегрируем (5.28),

получим

(5.29)

или

(5.30)

Считаем давление на уровне моря равным , тогда выражение (5.30) примет вид

(5.31)

Выражение (5.31) называется барометрической формулой.

Если воспользоваться соотношением (4.10) получим

. (5.32)

Учитывая, что – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, формулу (5.32) можно представить как

(5.33)

Выражение (5.33) называется распределением Больцмана во внешнем потенциальном поле.

Таким образом, рассмотренные статистические распределения имеют экспоненциальный характер, причем в показателе экспоненты стоит взятое со знаком минус отношение характерной энергии молекулы к величине , которая пропорциональна средней кинетической энергии теплового движения молекул.