Экономико-математические модели

При анализе и оптимизации производственно-экономических объектов проводится объединение построенных математических функциональных моделей с математическими стоимостными моделями в единую экономико-математическую модель.

Экономико-математической моделью (ЭММ) называется выражение, состоящее из совокупности связанных между собой математическими зависимостями (формулами, уравнениями, неравенствами, логическими условиями) величин – факторов, все или часть которых имеют экономический смысл. По своей роли в ЭММ эти факторы целесообразно подразделить на параметры и характеристики (рис. 1.2).

При этом параметрами объекта называются факторы, характеризующие свойства объекта или составляющих его элементов. В процессе исследования объекта ряд параметров может изменяться, поэтому они называются переменными, которые в свою очередь подразделяются на переменные стояния и переменные управления.

Рис. 1.2. Классификация факторов по их роли в ЭММ

Как правило, переменные состояния объекта являются функцией переменных управления и воздействий внешней среды. Характеристиками (выходными характеристиками) называются интересующие исследователя непосредственные конечные результаты функционирования объекта (естественно, что выходные характеристики являются переменными состояния). Соответственно характеристики внешней среды описывают свойства внешней среды, которые сказываются на процессе и результате функционирования объекта. Значения ряда факторов, определяющие начальное состояние объекта или внешней среды, называются начальными условиями.

Существенным признаком описательных моделей является отсутствие в них критерия оптимальности. Решение, даваемое ЭММ прямого счета, обеспечивает либо вычисление набора выходных характеристик объекта для одного или нескольких вариантов начальных условий и входных характеристик объекта, либо нахождение какой-либо совокупности значений в структурно допустимой области решений.

В зависимости от того, содержит ли ЭММ случайные факторы, она может быть отнесена к классу стохастических или детерминированных.

В детерминированных моделях ни целевая функция f, ни уравнения связи g_i не содержат случайных факторов. Следовательно, для данного множества входных значений модели на выходе может быть получен только один – единственный результат.

Для стохастических ЭММ характерно наличие среди факторов х модели, таких, которые имеют вероятностную природу и характеризуются какими-либо законами распределения, причем среди функций f и g_i могут быть и случайные функции. Значения выходных характеристик в таких моделях могут быть предсказаны только в вероятностном смысле. Реализация стохастических ЭММ в большинстве случаев осуществляется на ЭВМ методами имитационного статистического моделирования.

Математическая модель может быть использована для вычисления статических и динамических характеристик объекта исследования, для построения экономических прогнозов и планов, для анализа поведения объекта исследования.

В связи с этим ЭММ должна проявлять связь с фактором времени. Модели, в которых входные факторы, а, следовательно, и результаты моделирования явно зависят от времени, называются динамическими. Динамическими моделями являются экономические процессы и динамические звенья. При помощи динамических моделей изучают характер поведения объекта, определяют вид реакции, форму кривой, описывающей движение в ответ на внешние воздействия на реальный объект, изучают различные характеристики поведения.

Экономические процессы отражают математические зависимости значения показателя у от времени t. Она имеет форму функции времени

x = W(t, A ), (1-3.7)

где коэффициенты модели обозначены через вектор А. Например, экспоненциальный рост производства валовой продукции может иметь вид

х = ае ^{α t} ,(1.3.8)

где а > 0 и α > 1 – коэффициенты модели или параметры моделируемого объекта. Изменение объема выпуска продукции у происходит в зависимости от времени t. График функции представлен на рис. 1.1. По динамике экономических показателей судят о тенденциях изменения, прогнозируют дальнейшее развитие, принимают хозяйственные решения.

Динамическое звено отражает зависимость реакции экономического объекта в виде функции y (t) от экзогенного процесса x (t).Общую форму динамической модели можно обозначить следующим образом:

y (t) = U[ x (t), A ], (1.3.9)

где A – вектор постоянных коэффициентов, параметров модели.

Оператор звена U математически преобразует функцию x (t) в y (t)подобно преобразованию входного процесса в реакцию в объекте-оригинале. В любой момент времени численные значения x (t) и y (t)определяют состояние входа и выхода объекта моделирования.

Один из частных видов динамических объектов описывается следующим дифференциальным уравнением:

d y (t) /dt = a x (t),(1.3.10)

где x (t) > 0, а > 0 - коэффициент модели (параметр моделируемого объекта). На внешнее воздействие процесса x (t) модель откликается процессом выхода y (t).Реакция y (t)зависит от входного процесса x x (t) и начального условия y (0). Графически модель представлена на рис. 1.3.

Модели, в которых зависимость от времени t либо отсутствует совсем, либо проявляется слабо или неявно, называются статическими. Статическими моделями являются факторные зависимости и экономические соотношения разных показателей.

Статические факторные модели – математические модели в виде функциональной зависимости экономического показателя от воздействующих на него факторов. Факторные модели могут быть представлены соотношением:

y = F (x, A),(1.3.2)

где х – вектор экзогенных (образовавшийся извне) переменных; А – вектор параметров функции.

Факторными моделями являются, например, производственные функции, отражающие зависимость выпуска национального продукта от вектора используемых в производстве ресурсов; функции производственных затрат, отражающие зависимость издержек производственной сферы от объема выпуска национального продукта, и т.д.

Широко известна производственная функция Кобба - Дугласа, которая представляет собой зависимость объема производства продукции от количества используемых ресурсов труда и капитала (затрат на их использование) и имеет мультипликативную форму вида

Y=aK ^α L ^β, (1.3.3)

где а – постоянный коэффициент, соответствующий совокупной эффективности факторов К и L в производстве (а > 0); α, β – постоянные коэффициенты, которые характеризуют эффективность каждого ресурса отдельно (α, β > 0, α + β = 1); К – количество используемого капитала или плата за капитал; L – количество используемого труда или плата за труд.

В частном случае, если фактор L остается неизменным, производственная функция приобретает следующую форму:

Y= А K ^α (1.3.4)

где А > 0 и 0 < α < 1 – коэффициенты (параметры) модели. Тогда ее график имеет вид, представленный на рис. 1.2.

Экономические соотношения – однозначные соответствия экономических показателей. Они имеют математическую форму равенства, неравенства, предпочтения и т.д. Их можно записать в общем виде как

у ↔ V( x, A ), (1.3.5)

где переменная величина у соответствует значениям вектора х при фиксированном значении вектора коэффициентов А.

Частными случаями экономических соотношений являются ограничения и балансовые модели.

• Ограничения – математическая форма соотношения (1.3.5) экономических показателей и/или функций в виде больше (>), меньше (<), не больше (≤) или не меньше (≥), в которой знак ↔ заменяется соответственно на >, <, ≤, ≥.

Например, в математическом программировании ограничения такого типа накладывают на допустимые расходы ресурсов.

Балансовые модели имеют вид равенства поступивших и распределенных составляющих продукта, дохода, ресурса и т.д.:

х = y ₁ + y ₂ + … y_n. (1.3.6)

Балансы отражают производство и распределение национального продукта и доходов. Например, баланс производства и распределения валового национального продукта

Y = С + G + I,

где Y – валовой национальный продукт; С – конечный продукт для домохозяйств, G – конечный продукт для государства, I – валовые инвестиции.

Интересны в этом отношении имитационные модели: по механизму функционирования они являются динамическими (в модели идет имитация работы объекта в течение некоторого периода времени), а по результатам моделирования – статическими (например, ищется средняя производительность объекта за моделируемый период времени).

Статические модели представляют собой известную степень приближения к реальным объектам и системам, функционирующим во времени. Во многих случаях степень такого приближения, проявляющаяся в допущениях о неизменности или различного рода усреднениях факторов во времени (косвенно или приблизительно учитывающих фактор времени в определенных границах его изменения), является достаточной для практического применения статических моделей.

Исходя из принципа множественности описания моделей один и тот же объект в зависимости от целей его исследования может быть представлен моделями разной математической формы и сложности.

Модель экономической системы всегда проще оригинала. Она не может отразить всех аспектов функционирования реальной системы. Поэтому к моделям предъявляется требование адекватности объекту, т.е. она должна правильно воспроизводить нужные для изучения стороны реального объекта. Адекватная модель отражает реальную действительность, в этом отношении она объективна.

В результате разработки математической модели, адекватной объекту и целям исследования, и определения ее информационного обеспечения открывается возможность применения этой модели для выполнения исследования.

Во всех моделях переменными величинами являются экономические показатели. Экономический показатель – числовое выражение экономических явлений, свойств, процессов, отношений и т.д. Различают исходные и расчетные экономические показатели.

Значения исходных показателей получают методами статистического учета непосредственно на объектах исследования. Например, численность работников в производственной сфере, производство валового внутреннего продукта (ВВП) и т.д. Эти показатели могут быть заданы в натуральном или денежном выражении.

Расчетные показатели выражают различные свойства объектов исследования. Эти характеристики получают преобразованием одного или нескольких исходных показателей. Например, производительность труда вычисляют делением объема производства ВВП на численность работников в производственной сфере. Расчетные показатели применяют для анализа и оценки хозяйственных явлений, количественного отражения различных сторон этого явления (изменчивости, стабильности, эффективности и т.д.). Например, темп или индекс роста ВВП, предельный продукт капитала и т.д.