Основные понятия. Система счисления – это принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений

Система счисления – это принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений.

В любой системе счисления для представления чисел выбираются некоторые символы (цифры), отличные друг от друга. Эти символы называются базисными числами, а число таких символов называется основанием системы счисления. В современном мире наибольшее распространение получило представление чисел посредством арабских цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Для изображения (или представления) чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. В дальнейшем для слов позиционная система счисления будем использовать сокращение ПСС.

Десятичная, привычная для всех ПСС основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда. Таким образом, каждый разряд (позиция) имеют вес равный степени 10. Например, число 341.62 можно представить в виде

(1)

Следовательно, последовательность цифр 341.62 – это сокращенная запись выражения (1).

Десятичная запись любого числа X в виде последовательности цифр

, (2)

основана на представлении этого числа в виде многочлена (полинома):

(3)

Здесь каждый коэффициент a_i может быть одним из чисел, для обозначения которых введены специальные знаки 0, 1,…, 9. Таким образом, запись (2) является перечислением всех коэффициентов многочлена (3).

В других позиционных системах счисления аналогично число К единиц (K - целое и положительное) какого-либо разряда числа, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием ПСС, а сама система счисления называется К- ичной.

Например, основанием десятичной ПСС является число 10, двоичной - число 2, троичной – число 3 и т.д. Для записи произвольного числа в К-ичной ПСС достаточно иметь К разных цифр a_i, Например, в троичной ПСС любое число можно представить посредством цифр 0, 1, 2.

В истории цивилизации использовались различные ПСС. Например, в Древнем Вавилоне использовались ПСС с основанием 60, были ПСС с основанием 12, 20 и ряд других.

Запись произвольного числа Х в K -ичной ПСС основывается на представлении этого числа в виде многочлена:

, (4)

где каждый коэффициент 0 ≤ a_i < K может быть одним из базисных чисел и изображается одной цифрой. Заметим, что номер позиции (номер коэффициента) совпадает со степенью основания ПСС, а отсчёт номеров позиций ведём влево и вправо от точки, отделяющей целую и дробную части. Причём отсчёт влево начинается с нуля, а в право – с минус единицы.

Как и для десятичной ПСС, число Х, представленное в K -ичной ПСС, можно кратко записать в виде (2), путём перечисления всех коэффициентов многочлена (4) с указанием точки.

Основание ПСС при изображении числа указывают в виде нижнего индекса справа. Например в восьмеричной ПСС число будет записано так: 35.64₈ .