Преобразование представления числа из десятичной системы счисления в другую

Известна запись целого числа N в 10 - ой ПСС. Согласно (4) запись этого числа в Q - ичной ПСС будет иметь вид:

(10)

где . Для определения q₀ разделим обе части равенства (10) нацело на Q, причём в левой части произведём деление, пользуясь правилами 10-ной арифметики, и получим:

, (11)

. (12)

В (11) скобками указано взятие целой части числа, так как мы выполняем операция целочисленного деления. В (12) - записана операция получения остатка от деления N нацело на Q. В формуле (11) q₀ исчезло, так как все q_i < Q. Теперь, для определения q₁, к N₁ можно применить те же операции:

.

Таким образом, пологая , перевод чисел с использованием 10-ной арифметики осуществляется по следующим рекуррентным формулам:

. (13)

Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будет получено . Учитывая, что поскольку все операции выполняются в 10-ной ПСС, то в этой же ПСС будут получены искомые коэффициенты , поэтому каждый из них необходимо записать одной цифрой в новой Q -ичной.

Замечание. Рекуррентная формула – это соотношение вида:

a_n+1= f(n, a_n), n=0, 1, 2, …,

которое позволяет вычислить все члены последовательности a₁ , a₂, … _,, если задано a₀ и вид функционального отображения f(∙).

Таким образом, для вычисления представления числа в новой ПСС необходимо:

1. Выполнить деление нацело текущего частного N_i на основание новой ПСС ( все числа представляются в 10-ой ПСС и операция выполняется по правилам 10-ой ПСС).

2. Вычислить текущий остаток от деления нацело ( q_i = N_i modQ ) по правилам 10-ой ПСС.

3. Если новое частное N_i+1 не равно 0, то перейти к пункту 1.