ТУСУР, 2007, городская

В баке, объём которого 100 л, находится раствор, содержащий 10 кг соли. В этот бак втекает вода со скоростью 3л/мин, а смесь с такой же скоростью перекачивается во второй бак ёмкостью 100 л, первоначально наполненный чистой водой, из которого избыток жидкости выливается. Концентрация соли в каждом баке поддерживается равномерной с помощью перемешивания. Какое максимальное количество соли будет во втором баке и через какое время оно достигается?

РЕШЕНИЕ. Обозначим через и концентрацию раствора соответственно в 1 и 2 баке. В первый бак втекает 3 литра чистой воды, следовательно, концентрация уменьшается на 3% каждую минуту. Начальная концентрация – 10 кг на 100 литров, то есть 0,1 кг на литр.

Начальные условия:

Эту систему удобнее всего свести к дифференциальному уравнению 2-го порядка с неизвестной функцией , поскольку функция для ответов на вопросы задачи не нужна.

Из второго уравнения: , , ,

подставляем в первое уравнение: , . - линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Из второго уравнения системы находим начальное условие для : . Учтём, что , , тогда .

Составляем характеристическое уравнение или . Его корень кратности 2.

Общее решение дифференциального уравнения .

Найдём частное решение, используя начальные условия: , , . Итак, концентрация во 2-м баке меняется по закону . Найдём время при котором достигается максимум. . только при = 33 мин 20 сек. При этом концентрация на 1 литр, то есть, количество соли в баке на 100 литров равно 3,68 кг.

ОТВЕТ. Максимальное количество 3,68 кг достигается через 33,3 минут.