![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В баке, объём которого 100 л, находится раствор, содержащий 10 кг соли. В этот бак втекает вода со скоростью 3л/мин, а смесь с такой же скоростью перекачивается во второй бак ёмкостью 100 л, первоначально наполненный чистой водой, из которого избыток жидкости выливается. Концентрация соли в каждом баке поддерживается равномерной с помощью перемешивания. Какое максимальное количество соли будет во втором баке и через какое время оно достигается?
РЕШЕНИЕ. Обозначим через и
концентрацию раствора соответственно в 1 и 2 баке. В первый бак втекает 3 литра чистой воды, следовательно, концентрация уменьшается на 3% каждую минуту. Начальная концентрация – 10 кг на 100 литров, то есть 0,1 кг на литр.
Начальные условия:
Эту систему удобнее всего свести к дифференциальному уравнению 2-го порядка с неизвестной функцией , поскольку функция
для ответов на вопросы задачи не нужна.
Из второго уравнения: ,
,
,
подставляем в первое уравнение: ,
.
- линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Из второго уравнения системы находим начальное условие для
:
. Учтём, что
,
, тогда
.
Составляем характеристическое уравнение или
. Его корень
кратности 2.
Общее решение дифференциального уравнения .
Найдём частное решение, используя начальные условия:
,
,
. Итак, концентрация во 2-м баке меняется по закону
. Найдём время при котором достигается максимум.
.
только при
= 33 мин 20 сек. При этом концентрация
на 1 литр, то есть, количество соли в баке на 100 литров равно
3,68 кг.
ОТВЕТ. Максимальное количество 3,68 кг достигается через 33,3 минут.
Дата публикования: 2015-04-09; Прочитано: 248 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!