ТУСУР, 2007 городская)

ПЕРВЫЙ КУРС

Сколько действительных корней имеет уравнение на полуоси ?

РЕШЕНИЕ. Функция рассматривается на полуоси . . Докажем, что функция монотонно возрастает. Найдём производную:

= =

= = .

Очевидно, что , . Осталось доказать, что , то есть или (1). При неравенство (1) выполняется . Также заметим, что для всех справедливо .

При , поэтому неравенство (1) выполняется.

При значение положительно, однако можно утверждать, что , так как . Тем более, если добавить к дроби заведомо положительную величину .

Таким образом, мы доказали, что для всех , то есть исследуемая функция монотонно возрастает. В то же время функция монотонно убывает, поэтому - единственное решение уравнения . ОТВЕТ. Единственное решение .

2) ТГАСУ 2006 год городская. Известно, что определитель n-го порядка

D_n =

равен 5461. Найти порядок определителя.

Решение. Разложим определитель по 1-й строке

D_n = 5 D_n-1 – 4

Разложим определитель во втором слагаемом по 1-му столбцу и получим:

D_n = 5D_n-1 – 4 D_n-2

Заметим, что

D_n – D_n-1 = 4 (D_n-1 – D_n-2)

D_n – 4D_n-1 = D_n-1 – 4D_n-2

Последовательность

D₂ – D₁; D₃ – D₂; D₄ –D₃; …

образует геометрическую прогрессию со знаменателем 4, поэтому, учитывая D₁ = 5;

D₂ = 21, согласно формуле для n-го члена геометрической прогрессии, получаем:

D_n – D_n-1 = 4^п-2 (D₂ –D₁) = 4^n-2 16 = 4ⁿ

Очевидно также, что:

D_n – 4D_n-1 = D₂ – 4 D₁ = 21 – 20 = 1

Решаем систему двух уравнений с неизвестными D_n и D_n-1:

D_n (1 – 4) = 1 – 4^{n + 1}

D_n = = 5461

1 – 4^{n + 1} = – 16383

4^{n + 1} = 16384

4ⁿ = 4096

n = 6.

3) ТГАСУ 2006 год городская. Расстояние между графиками функций у = х² + q и у =

равно . Найти q.

Расстояние между кривыми определяется как наименьшее из расстояний между двумя точками на кривых.

Решение. Для любой точки разность х² + q – x есть длина катета ВС прямоугольного треугольника АВС, где точка В имеет координаты (х; х² + q). Функции у = х² + q и у = взаимно обратные на интервале , поэтому их графики симметричны относительно прямой

у = х. Значит ВС = АС. Гипотенуза прямоугольного треугольника АВС, соединяющего точки

В(х; x² + q), А(; x) и С(х, х) равна d (x) = .

Расстояние между кривыми будет равно наименьшему значению функции d (x) на интервале .

x₀ = - решение уравнения.

= = .

Решая уравнение, получаем

q = .

Заметим, что

d (0) = > = .

Поэтому d - наименьшее значение.

старшие курсы

1) ТГАСУ, 2006 год, городская. Найти среднее значение квадрата расстояния точки круга от начала координат.

Решение. Обозначив через расстояние точки круга от начала координат, получим:

; . По теореме о среднем имеем: . Перейдя к полярным координатам по формулам

, получим =

= .