M - количество начислений за период

Чтобы лучше усвоить расчет сложных процентов, давайте разберём пример.

Представим, что Вы положили 10 000 руб. в банк под 10 процентов годовых.

Через год на Вашем банковском счету будет лежать сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.

Ваша прибыль - 1000 рублей.

Вы решили оставить 11 000 руб. на второй год в банке под те же 10 процентов.

Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000руб.) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Этот эффект и получил название сложный процент.

Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Пример:

Вы положили 50 000 руб. в банк под 10% годовых на 5 лет. Какая сумма будет у вас через 5 лет?

Решение:

FV = 50000 * (1 + 0,1)⁵ = 80 525, 5 руб.

Сложный процент может использоваться, когда вы открываете срочный вклад в банке. По условиям банковского договора процент может начисляться, например, ежеквартально, либо ежемесячно.

Пример:

Какая будет конечная сумма, если вы положили 10 000 руб. на 12 месяцев под 10% годовых с ежемесячным начислением процентов.

Решение:

FV = 10000 * (1+10/100/12)12 = 11047,13 руб.

Прибыль составила: ПРИБЫЛЬ = 11047,13 - 10000 = 1047,13 руб

Доходность составила (в процентах годовых): % = 1047,13 / 10000 = 10,47 %

То есть при ежемесячном начислении процентов доходность оказывается больше, чем при начислении процентов один раз за весь период.

Если Вы не снимаете прибыль, тогда начинает работать сложный процент.

Задачи для самостоятельного решения:

1. на расчетный счёт поступило 80 у.е., через год добавили 90 у.е.. Определить сумму на конец 3 года при условии 10% годовых сложных.

2. на счёт поступило 80 у.е., через 3 года накопленная сумма составила 200 у.е.. Сколько надо начислить в конце 1 года, чтобы накопить заявленную на конец 3 года сумму при условии 10% годовых сложных?

3. предлагается купить ценную бумагу номиналом в 100 у.е за 80 у.е, сколько составит выгода при i = 8% годовых сложных?

4. перечислена некая сумма. Каков должен быть размер % ставки, чтобы за 2 года сумма возросла в 1,5 раза?

5. на сумму в 100 у.е в первый год начислялось 8% годовых сложных, во второй – 10% годовых сложных. Какова будет сумма на конец второго года?

6. что выгоднее, взять кредит под 10% годовых простых, или под 9,5% годовых сложных с ежеквартальным начислением? Обе схемы даются на 2 года.

7. вкладчик положил в банк, выплачивающий 10% сложных годовых, 2000 тыс.д.е. Какая сумма будет на счете вкладчика через 3 года? Какая сумма будет на счете вкладчика, если банк выплачивает 10% простых годовых?

8. через 4 года и 6 месяцев некий господин желает иметь на счете 5000 тыс.д.е. Какую сумму он должен положить в банк, если учетная ставка банка 10% сложных годовых с ежемесячным начислением дохода?

9. в банк, выплачивающий 10% сложных годовых с ежемесячным начислением дохода, положили 3000 тыс.д.е. Через сколько лет на счете будет 5000 тыс.д.е.?

10. какую сумму денег нужно положить в банк на 6 лет со ставкой процента 8% при полугодовом начислении сложных процентов, для того, что бы общая сумма в конце 6 года равнялась 10000 ден.ед?

11. пенсионер решил положить деньги в банк на 2 года. Банк “Альфа” начисляет проценты по номинальной ставке 28 % каждые три месяца. Банк “Гамма” начисляет ежемесячно 3 % (сложные проценты). Условия какого банка выгоднее для пенсионера?

12. клиент получил в коммерческом банке ссуду суммой 20000 р. на срок 1 год. Начисление сложных процентов производилось каждые 3 месяца. Сумма возврата составила 30000 р. Определить номинальную ставку банка.

13. вклад суммой 900 р. положен в банк на 3 года. Процентная ставка за первый год составила 12 % и каждый последующий год увеличивалась на 5 %. Определить сумму процентных денег при условии начисления сложных процентов.

14. первоначальная сумма равна 200 тыс. Определить наращенную сумму через пять лет при использовании простой и сложной ставок ссудных процентов в размере 12% годовых. Решить также для случаев, когда проценты начисляются по полугодиям, поквартально.

15. первоначальная сумма долга равна 300 тыс. Определить наращенную сумму через 2,5 года начисления сложных процентов по ставке 20 % годовых.

16. определить современную (настоящую приведенную) величину суммы 500 тыс., выплаченной через три года, при использовании ставки сложных процентов годовых.

Домашнее задание:

Придумать самостоятельно 4 задачи на нахождение переменных при условии начисления сложной годовой ставки и 2 задачи на сравнение различных схем начисления при сложной и простой ставках.

Учётная ставка

Учётная ставка, ставка учетного процента - ставка, по которой банки учитывают векселя, дисконтная ставка.

Учёт векселя - покупка банком или специализированными кредитными учреждениями векселей до истечения их срока. При учёте векселя банк досрочно уплачивает держателю сумму, на которую выписан вексель, за вычетом процента, размер которого определяется на базе существующего процента на ссудный капитал в зависимости от качества и срока векселя. Банки принимают к учету только так называемые первоклассные векселя, т.е. векселя, содержащие обязательства солидных фирм, плетёжеспособность которых не вызывает сомнений. Векселя с гарантией крупных банков учитываются по более низким ставкам процента, чем векселя торговых и промышленных фирм, не имеющих банковской гарантии (банковского аваля). Векселя с обязательствами мелких и слабых в финансовом отношении фирм банками не принимаются для учета или учитываются по индивидуальным, сильно завышенным ставкам процента.

FV = PV/(1-n*d), где FV – номинал векселя

PV – сумма, полученная при учёте векселя

d – учётная ставка

n – интервал времени между датой учёта и датой погашения векселя

D = F*n*d – комиссия банка

PV = FV - F*n*d

Пример:

Предъявлен вексель на сумму 50 тыс. со сроком погашения 28 сентября. Дата предъявления векселя – 13 сентября того же года. Банк согласился учесть вексель по ставке 30% годовых. Определить сумму, которую держатель векселя получит в банке.

Решение:

FV = 50 000

PV = 50 000(1 – 0,3*15/365) = 49 400

Пример:

При учёте предъявленного векселя на сумму 30 тыс. за 40 дней до срока его погашения доход банка составил 1,5 тыс. Определить доходность этой финансовой операции для банка в виде простой процентной ставки.

Решение:

D = F*n*d = 1,5

30*40/360*d = 1,5

d = 0,45, т.е. 45%

Задачи для самостоятельного решения:

1. банк 07.07 учёл 3 векселя со сроками погашения в этом же году соответственно:

1- 08.08; 2-30.08; 21.09

Применяя учётную ставку 25% годовых, банк удержал комиссию в размере 2750 руб. Определить номинальную стоимость первых двух векселей, если номинальная стоимость 2 – ого векселя в 2 раза больше, чем 1-ого, а 3-ий вексель предъявлен на сумму 28 тысяч.

2. рассчитайте учетную ставку по вексельному кредиту. Номинальная цена векселя - 1000 руб. Банк покупает его, выплачивая 900 руб. за 6 мес. до наступления срока платежа по векселю.

3. векселедержатель 1 октября предъявил для учета вексель на сумму 60 тыс. руб. со сроком погашения 25 октября текущего года. Банк учел вексель по простой учетной ставке 26% годовых. Какую сумму получит векселедержатель от банка?

4. определить доходность операции для кредитора, если им предоставлена ссуда в размере 2 млн. руб. на 100 дней и контракт предусматривает сумму погашения долга 2,5 млн. руб. Доходность выразить в виде простой ставки процентов i и учетной ставки d. Временную базу принять равной T=360 дней.

Домашнее задание:

Придумать самостоятельно 4 задачи на нахождение переменных на тему учётной ставки.
Эффективность различных ставок. Эквивалентные ставки. Эффективная ставка

Эквивалентные ставки — ставки различного вида, приводящие к одному и тому же финансовому результату за один и тот же промежуток времени.

Эквивалентная ставка – это процентная ставка, приравнивающая платежи.

Финансово-эквивалентные – платежи, которые, будучи приведёнными к одному моменту времени, равны.

Уравнения для нахождения эквивалентных ставок получаются приравниванием соответствующих множителей наращивания (дисконтирования).

Если некоторой ставке ищется эквивалентная ставка вида "сложные проценты при m=1", то такая найденная ставка называется эффективной процентной ставкой (сложной).

Эффективная ставка – это сложная годовая процентная ставка, начисляемая раз в год, приносящая равный с прочими видами начисления доход.

Эффективная процентная ставка служит неким эталоном, то есть используется для сравнения между собой различных процентных ставок. В общем случае, если в результате некоторой операции за срок сумма превратилась в сумму, то эффективность этой операции можно измерить эффективной (сложной) процентной ставкой iэфф, вычисляемой из уравнения:

FV = PV (1+i/m)^n*m = PV (1+i эфф)ⁿ, где FV – будущая стоимость