Уровневые множества

. (1.25)

Нетрудно показать, что уровневые множества обладают следующими свойствами [67]:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Пусть 2^X - множество всех четких подмножеств из X и F* - класс отображений

f: [0,1] ® 2^X

со свойствами:

1. ;

2. f(0)=Х.

Тогда справедлива следующая теорема [179].

Теорема 1.3. Существует биекция T между классами F* и F(X) такая, что f(a ) есть слабое a -уровневое множество для T(f).

Если же F* - введенный класс со свойствами:

1. ;

2. f(1) равняется пустому множеству,

то справедлива аналогичная теорема [166], где f(a) будет сильным a-уровневым множеством для T(f).

С помощью a-уровневых множеств в дальнейшем формулируются многие важные свойства F-множеств.

Анализ обширного отечественного [6, 7, 64, 65, 84, 178, 179, 214, 243, 245] и зарубежного материала [54, 98, 99, 110, 129, 170, 265, 281, 318, 334] по теоретическим и практическим аспектам теории нечетких множеств показывает, что в еще слабо разработаны численные и аналитические методы для работы с нечеткими величинами и очень мало работ по применению этой теории в алгоритмах контроля и управления сложными системами. Поэтому приведем основные результаты, полученные нами в [38, 72, 134], для обеспечения вычислительных расчетов с нечеткими величинами. Мы рассмотрим наиболее общие аналитические и численные методы, позволяющие оперировать с нечеткими величинами. Понятие нечеткой и интервальной величины вводятся путем обобщения понятия вещественного числа.