Отображение F-множеств

В ТНМ считается, что произвольное F -отношение в X * Y устанавливает определенное F -отображение между X и Y. Пусть в X* Y задано некоторое F -отношение с функцией принадлежности , которое можно толковать как нечеткий график F -отображения, вводимого следующим образом.

Говорят, что задано F -отображение f: X® Y, если каждому A F(X) ставится в соответствие f(A) F(Y) по следующему правилу

, (1.19)

где функция f_i определяет какую-либо из операций пересечения i-го типа.

Соотношение (1.19) для i=1 получено в работе Заде [98]по аналогии геометрическому способу построения образа элемента x X по графику обычного отображения f:R® R.

Процедура построения множества f(A) по (1.19) при A F(X) заключается в следующем. Пусть y ₀ Y - произвольный фиксированный элемент. Тогда есть F -функция условной проекции первого типа P F(X). Следовательно, выражение является F -функцией множества P и величина равна супремуму этой функции на X.

Таким образом, функция является результатом решения параметрической экстремальной задачи, в которой в качестве параметра выступает переменная y.

В частности, если f есть отношение в X*Y, определяющее обычное отображение f:X®Y, т.е.

и

,

то из (1.19) для i=1,2,4 следует, что

, (1.20)

а для i=3

.

Пример 1.9. Пусть X=Y=R и f:R ® R определяется следующим F -отношением:

.

Если

,

то для i=1 максимум функции по x при произвольном фиксированном y достигается в точке , определяемой из уравнения

,

решение которого дает

.

Подставляя в или в получим

Если a=0, т.е. , то очевидно, что определяется из уравнения

т.е. и, следовательно,

.

Если i=2, т.е. операция пересечения определяется по второму типу, то из уравнения

находим, что и, следовательно,

Пример 1.10. Пусть снова X=Y=R и задано отображение y=f(x)=x². Если

,

то учитывая, что имеем

Следовательно, согласно (8.2)

В том случае, когда A и f - конечные F -множества, т.е. и представимы в виде вектора и матрицы, то, например, для i=1, т.е. , нахождение f(A) сводится максиминному произведению вектора на матрицу. В этой операции произведение значений F-функций заменяется взятием их минимума, а сумма - их максимумом.

Поясним это следующим примером.

Пример 1.11. Пусть ,

,

.

Слева от наклонной черты указывается значение F -функций в соответствующей точке. Перемножая и по описанному правилу, получим

.

Этот же результат можно получит другим путем, заметив из (1.19) следующий факт. Если x - произвольный фиксированный элемент из X, то F -функция определяет в F(Y) некоторое множество f(A(x)). Тогда

. (1.21)

Для нашего примера имеем

,

,

,

откуда

.

Исходя из (1.19)-(1.21), Л. Заде сформулировал так называемый принцип обобщения, который для нечетких множеств представляет собой основное равенство, позволяющее расширить область определения Х отображения или отношения F, включив в нее наряду с точками произвольные нечеткие подмножества Х. Предположим, что А - нечеткое подмножество вида

.

Тогда принцип обобщения утверждает, что

, (1.22)

т.е. образ множества А при отображении А можно получить зная образы элементов при этом отображении.

Во многих приложениях принципа обобщения возникает следующая проблема. Имеется функция n переменных и нечеткое множество (отношение) А в , характеризующееся функцией принадлежности . Однако во многих случаях известно не само множество А, а его проекции на соответственно. В связи с этим возникает вопрос: какое выражение следует использовать для .

В таких случаях обычно, если нет специально оговоренных ограничений на переменные , предполагают, что функция принадлежности отношения А имеет вид

, (1.23)

где , i=1,...,n - функция принадлежности множества А_i, что эквивалентно предположению о том, что А - декартово произведение своих проекций., т.е.

.

Пример 1.12. Пусть F - арифметическое произведение X₁ и X ₂, а проекции А ₁ и А₂ определены следующим образом:

А ₁ = примерно 2 = 0,6/1 + 1/2 + 0,8/3,

А ₂ = примерно 6 = 0,8/5 + 1/6 + 0,7/7.

Используя (1.23) и применяя принцип обобщения, имеем:

	0,8/5	1/6	0,7/7
0,6/1	0,6/5	0,6/6	0,6/7
1/2	0,8/10	1/12	0,7/14
0,8/3	0,8/15	0,8/18	0,7/21

Таким образом, арифметическое произведение нечетких чисел примерно 2 и примерно 6 есть нечеткое число с найденной функцией принадлежности.

Понятие отображение F -множеств играет исключительно важную роль как в практических приложениях, так и при введении алгебраических операций над нечеткими величинами.