Операции над F-множествами

Все приводимые операции над F-множествами определяются через действия над их F-функциями.

Множества А и В из F(X) равны (А=В) тогда и только тогда, когда для всех x X.

Для А, В F(X) множество А является подмножеством В (A B) тогда и только тогда, когда для всех x X.

Например, если , то A B

Рис.1.4. Функция принадлежности для нечеткого подмножества А

Замечание. Если A и B четкие множества и , то , что для F -множеств не обязательно.

Например, если , то , но .

Объединением множеств А и В из F(X) называется множество , F -функция которого определяется следующим образом:

(1.5)

Объединение соответствует союзу или и более компактно записывается как

,

где символ обозначает операцию взятия max.

Следствие 1.1. Множество С является наименьшим из множеств, содержащих одновременно А и В.

Доказательство. Пусть F -множество и содержит A и В, т.е.

и т.е. .

Следовательно, D=C.

Пример 1.2. Если , то

, т.е. .

Пересечением множеств А и В из F(X) называется множество , F -функция которого определяется следующим образом:

(1.6)

Пересечение соответствует союзу и, более компактно записывается как

,

где символ обозначает операцию взятия min.

Пример 1.3. Если , то

, т.е. .

Следствие 1.2. Множество С является наибольшим из множеств, содержащихся одновременно в А и в В.

Доказательство. Пусть F -множество и принадлежит A и В. Тогда

и одновременно т.е. .

Следовательно, D=C.

Известно, что операции объединения и пересечения четких множеств являются коммутативными, ассоциативными и обладают свойствами дистрибутивности по отношению друг к другу. Выявление аналогичных свойств для F -множеств сводится к анализу функций

где

Графически эти функции на плоскости при некотором фиксированном изображены на рис.1.5, где сплошной линией показан график функции g, а пунктиром - f.

Таким образом, f и g являются кусочно-линейными и монотонно возрастающими функциями по каждому из своих аргументов.

Рис. 1.5. Графики функций

Следующие соотношения, которые приводятся без доказательств, являются следствием довольно очевидных свойств функций f и g.

Здесь

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Заметим, что если А и В четкие множества с характеристическими функциями , то можно представить в виде (1.2), что эквивалентно определению через функции min и max.

Для F - множеств это уже не верно, так как

В этом случае следствия 1.1 и 1.2 не выполняются.

Существует несколько способов определения операций объединения и пересечения. Например, для операции пересечения используют иногда алгебраическое произведение функций принадлежности

.

Правомерность определения операций объединения и пересечения F -множеств в форме отличной от (1.3) рассматривается в ряде работ [53, 54, 68] с точки зрения принятия решений. В [60] отмечается, что в некоторых случаях можно задавать в виде среднего геометрического и, следовательно,

Добавим, что можно описывать с помощью F -функции

и , соответственно, в виде

.

Все отмеченные альтернативные варианты объединения и пересечения F -множеств только с определенной степенью точности соответствуют описанию посредством функций min и max. Поэтому выбор того или иного подхода зависит от конкретной задачи, когда использование операций min и max приводит к неадекватности модели реальной ситуации.

В принятых обозначениях следующие функции определяют четыре типа операций пересечения и объединения F -множеств:

При некотором фиксированном графики функций показаны на рис. 1.6. Они могут дать некоторое наглядное представление о свойствах отмеченных типов операций пересечения F -множеств.

Рис. 1.6. Графики функций

Аксиоматический подход к определению операций объединения и пересечения F -множеств посредством (1.5) и (1.6) рассматривается в работах [255, 274]. Очевидно, что если объединить определение объединения со следствием 1.1, а определение пересечения со следствием 1.2, то получим функции (1.5) и (1.6). Именно так и поступают Беллман и Заде в работе [54], предполагая минимальность объединения и максимальность пересечения F -множеств в смысле следствий 1.1 и 1.2.

В соответствии с принятой выше индексацией функций f и g основное внимание в дальнейшем будем уделять операциям первого типа над F -множествами.

Разностью множеств А и В из F(X) называется множество C=A\B, с F -функцией вида:

(1.7)

Разность X\A называется дополнением F -множества A и обозначается A '. Из (1.7) следует, что

, т.к. .

Эта операция удобна, например, для перехода от нечеткого множества допустимых значений к множеству недопустимых значений.

Замечание. Если для четких множеств А и В из X всегда

то для F -множеств, вообще говоря, это не верно.

Нетрудно проверить, что для А и В из F(X), справедливы следующие соотношения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Равенства 6 и 7 называются законами де Моргана и следуют, соответственно из тождеств: