Теоретичні відомості. до практичних занять

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до практичних занять

з дисципліни

“Основи математичної теорії надійності ”

для студентів спеціальності 6.050801

“Мікро- та наноелектроніка”

денної і заочної форм навчання

Методичні вказівки до практичних занять з дисципліни “Основи математичної теорії надійності ” для студентів спеціальності 6.050801 “Мікро- та наноелектроніка” денної і заочної форм навчання.- Укл.: О.В.Томашевський, В.О.Шаровський. - Запоріжжя, 2009.-31 с.

Укладач: О.В.Томашевський, доц., канд.техн.наук

В.О.Шаровський, асистент

Рецензент: С.М.Степаненко, доц., канд. техн.наук

Відповідальний за випуск: Г.В.Сніжной, доц., канд. фіз.-матем.наук

Затверджено

на засіданні кафедри МіНЕ

Протокол №1
від 27 серпня 2009 р.

ЗМІСТ

ПОЧАТКОВА СТАТИСТИЧНА ОБРОБКА ДАНИХ

Теоретичні відомості

При дослідженні властивостей різних об'єктів, процесів, явищ, визначаються поняття генеральної сукупності і вибірки з генеральної сукупності.

Генеральна сукупність – усі мислимі значення (виміри, спостереження), що описують поводження досліджуваного об'єкта, процесу чи явища.

Вибірка з генеральної сукупності – обмежений набір вибіркових з генеральної сукупності значень, що реально спостерігаються і описують досліджуваний об'єкт, процес чи явище. Кількість цих значень називається обсягом вибірки.

Висновки про поводження об'єкта, процесу чи явища робляться по вибірці обмеженого обсягу і поширюються на всю генеральну сукупність.

Позначимо кількість об'єктів, що підлягають обстеженню, N. Припустимо, що кожному i об'єкту відповідає значення x_i. Згідно даного раніше визначення сукупність усіх можливих значень (теоретично домислюємих), що характеризують N об'єктів, називається генеральною сукупністю, а N – обсягом генеральної сукупності. Генеральна сукупність може бути кінцевою або нескінченною, тобто N може бути кінцевою або N ® .

Нехай кількість реально спостерігаємих об'єктів із N дорівнює n. Тоді – вибірка з генеральної сукупності, n – обсяг вибірки.

Будь-які характеристики випадкової величини, отримані по вибірці з генеральної сукупності, називаються вибірковими, або емпіричними, характеристиками, а характеристики, отримані по генеральній сукупності, – теоретичними, або генеральними, характеристиками.

При визначенні імовірності одержання певного чисельного значення деякої величини чи події використовується поняття частоти появи даного значення чи події - як відношення числа випадків його появи до загального числа спостережень чи вимірів.

Імовірність визначаться як межа, до якої прямує частота появи певного чисельного значення чи частота здійснення даної події при безупинному збільшенні числа спостережень. Теорія імовірностей доводить існування такої межі і збіжність частоти до імовірності при наближенні числа спостережень до нескінченності.

Величина, для якої одержання її конкретного значення зв'язується з імовірністю, називається випадковою величиною. Випадкова величина може приймає ті чи інші числові значення в залежності від різних випадкових обставин. Одержувані при спостереженнях чи вимірах значення випадкової величини непередбачені, можна тільки задатися імовірністю одержання того чи іншого значення. Випадкові величини підрозділяються на дискретні і неперервні:

¨ дискретні випадкові величини можуть приймати тільки конкретні, заздалегідь обговорені значення (наприклад, значення чисел на верхній грані кинутої гральної кістки чи кількість відмов у партії виробів при випробуваннях);

¨ неперервні випадкові величини можуть приймати будь-які значення, найчастіше в деякому визначеному інтервалі (наприклад, значення параметрів інтегральної схеми, час безвідмовної роботи транзистора, об’єм продаж у ціновому виразі).

Результати спостережень чи вимірів утворюють вибірку. Будь-які характеристики випадкової величини, отримані по вибірці з генеральної сукупності, називаються вибірковими або емпіричними характеристиками, а характеристики, отримані по генеральній сукупності, – теоретичними або генеральними характеристиками.

Вибіркові, (емпіричні) характеристики. За результатами вибірки можна оцінити центр групування, розсіювання і розподіл імовірностей випадкової величини.

Для оцінки центра групування вибірки випадкових величин х₁,х₂,,..,.х_n використовуються:

- середнє арифметичне ;

- медіана;

- мода.

Медіана дорівнює середньому члену вибірки випадкових чисел х₁,х₂,,..,.х_n, розташованих у зростаючому порядку, при непарному n. Якщо n - парне, медіана дорівнює напівсумі двох середніх членів. Модою називається таке значення випадкової величини, імовірність одержання якого найбільша.

Розсіювання випадкових величин усередині вибірки х₁,х₂,,..,.х_n характеризується:

- емпіричною дисперсією s²;

- розмахом.

Розмах визначається як різниця максимального і мінімального членів вибірки.

Статистичним розподілом випадкової величини називається розташована в порядку зростання сукупність значень випадкових величин (варіаційний ряд) із вказівкою імовірності їхнього виникнення.

Статистичний розподіл може бути представлений у вигляді гістограми або полігона. Гістограма - це ступінчастий графік, ординати якого відповідають частоті чи частості попадання даного випадкового у визначений інтервал значення, відкладених по осі абсцис. Відмінність полігону від гістограми в тім, що роль ступінчастого графіка грає багатокутник, кути якого відповідають частоті або частості. Частість f_i (чи відносна частота) визначаються за формулою:

де: m_i - кількість попадань значень випадкової величини в i -ий інтервал (абсолютна частота);

n – об’єм вибірки;

Теоретичні (генеральні) характеристики. Функція розподілу випадкової величини, отримана по генеральній сукупності, називається теоретичною функцією розподілу і позначається F(x).

Розподіл випадкової величини x може бути описаний аналітично за допомогою теоретичного розподілу з функцією густини імовірності f (x).

Основними теоретичними характеристиками є:

- математичне очікування;

- дисперсія;

- коефіцієнт асиметрії;

- коефіцієнт ексцесу.

Математичне очікування характеризує центр розподілу випадкової величини x і визначається за формулою:

Оцінюється E(x) середнім арифметичним для значень, отриманих при спостереженнях (вимірах) випадкової величини x.

Дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини x і визначається за формулою:

Для характеристики форми розподілу використовуються коефіцієнти асиметрії й ексцесу. Коефіцієнт асиметрії визначає асиметрію розподілу і задається як

де μ_до, n_л - центральні і початкові теоретичні моменти порядку k, що визначаються виразами:

Для симетричного розподілу β₁ (і μ₃) дорівнює 0. Наприклад, для моделі нормального розподілу β₁ =0. При β₁<0 (μ₃<0) розподіл має лівосторонню асиметрію, при β₁>0 (μ₃>0) - правосторонню.

Коефіцієнт ексцесу β₂ також є характеристикою форми розподілу, а саме його гостровершинності, і визначається виразом:

Величина g =β₂ -3 називається приведеним коефіцієнтом ексцесу. Для нормальної моделі випадкової величини g =0, а β₂=3.

Теоретичні характеристики оцінюються відповідними їм вибірковими (емпіричними) характеристиками (табл.1.2).

Tабл.1.2 - Відповідність вибіркових і теоретичних характеристик