Порядок виконання завдання

1. Скласти головну програму, що містить звернення до підпрограм EYLER, RGK.

2. Скласти підпрограму обчислення правих частин рівнянь системи.

3. Провести обчислення на ЕОМ.

4. Провести аналіз одержаних результатів.

5. Оформити звіт і представити його до захисту.

Таблиця 5.1.

Варіанти індивідуального завдання 5

а)

Номер варіанту	f (x; y1, y2)	а	y20
	-a0.8x	0.01 0.02 0.03 0.05 0.07 0.09	0.05 1/3 0.25 0.2 1/6 1/9
	-axy2-y1	0.01 0.02 0.03 0.04	0.5 0.33 0.25 0.2
	-ay1e-x	0.01 0.02 0.05 0.06	0.5 1/3 0.25 0.2
	-0.04e-1..2x	- - -	0.2 0.3 0.4
	-0.04e0.8	-	0.2
	-axy2-x2y1	0.4 0.5 0.6 0.7	0.2 1/6 1/7 0.125

б) привести до системи диференціальних рівнянь шляхом введення додаткових змінних

у®у(1), y’® у (2), у” ®у(3) і т.д.

Таблиця 5.2.

Номер варіанту	Диференціальне рівняння	Інтервал [а;b]	x0	y0	y0’	Крок h
	y”=3y’-2y+2x-3	0; 0.3				0.1
	y”+4y’+4y=0	0; 0.5			-1	0.05
	y”+yy’-6y=2x2-x	0; 0.6		-1		0.1
	y”+2y’+2y=2e-xcosx	0; 1				0.1
	(1+x2)y”+(y’)2+1=0	1; 2			-1	0.1
	y”+4y=sinx+sin2x	0; 1			-0.5	0.1
	у(3)=y”-y’+1	0; 2				0.4

в)

Таблиця 5.3.

Номер варіанту	f1 (x; y1; y2)	f2 (x; y1; y2)	Інтервал [а;b]	x0	y10	y20	Крок h
	y1+y2+x	-4y1+3y2+2x	0; 0.3				0.05

Короткі відомості з теорії і основні алгоритми

Визначення 1. Диференціальне рівняння - рівняння, що містить невідому функцію одного або декількох змінних, незалежні змінні і похідні невідомої функції по незалежним змінним.

Приклади:

- невідома функція (1)

- невідома функція (2)

невідома функція (3)

Визначення 2. Звичайним диференціальним рівнянням порядку r називається рівняння (щодо невідомої функції у одного незалежного х) вигляду:

F (x, у(x), y'(x)... у^(r)(x)) = 0 (4)

де r - порядок щонайвищої похідної, входить в рівняння.

Визначення 3. Якщо рівняння лінійне по у, y'.. у^(r ), то воно називається лінійним.

Визначення 4. Під диференціальним рівнянням в явній формі розуміють диференціальне рівняння, яке вирішено щодо старшої похідної:

у^(r) (x)= f (x, у(x), y'(x)... у^(r-1)(x)) ⁽5)

Визначення 5. Рівняння (4) називається рівнянням в неявній формі.

Вирішити диференціальне рівняння - це значить знайти всі невідомі функції, обертаючі рівняння в тотожність. В загальному випадку невідомі функції визначаються диференціальним рівнянням неоднозначно (якщо рішення взагалі існує), тому на шукані функції часто накладаються додаткові умови.

Під інтеграцією рівняння (4) розуміють знаходження функції у(x), що задовольняє цьому рівнянню. При цьому у(x) називається рішенням диференціального рівняння.

Загальне рішення звичайного диференціального рівняння порядку r має вигляд

у = у (x; С₁... C_r)

де C₁...C_r - довільні постійні.

При будь-якому наборі конкретних постійних виходять приватні рішення.

Задача Коші (задача з початковими умовами) є задача про знаходження приватного рішення яке задовольняє r початковим умовам

у(x₀)=y_0, y'(x₀)=y₀',... у^(r-1)(x₀)=y₀^(r-1)

Якщо відоме загальне рішення, то для вирішення задачі Коші постійні знаходять з рівнянь

у(x; C₁ ... C_r )= y₀

Визначення 6. Графічне зображення приватного рішення називають інтегральною кривою

Загальне рішення диференціального рівняння r-го порядку визначає r-параметричне сімейство інтегральних кривих. Зворотно, кожне r-параметричне сімейство визначає (за деяких додаткових умов) диференціальне рівняння r-го порядку, яке виходить шляхом виключення постійних C₁...C_r з рівнянь

___

у⁽ⁱ⁾ (x)= у⁽ⁱ⁾ (x; C₁... C_r) (i = 0, r)

Таким чином диференціальне рівняння описує сімейство кривих.

Приклад:

Сімейство всіх кіл на площині (x - C₁ )² + (y-C₂)² = C₃² містить три параметри. Триразове диференціювання приводить до рівнянь

x - C₁ + (у - C₂ ) y' = 0

1 + (у - C₂ ) y'' + (y')² = 0

(у - C₂ ) y'''+ 3y'y'' = 0

Виключаючи С₂ з двох останніх рівнянь, отримуємо

y'''(1 + (y')² ) - 3y' (y'') 2 = 0

Диференціальне рівняння в явній формі має вигляд:

y'= f(x,y)

Якщо через точку М(x,y) проходить графік рішення y=y(x) рівняння y'= f(x,y), то нахил φ дотичної до графіка в точці М(x,y) визначається безпосередньо з рівняння

tg φ = y'(x)= f(x,y)

Таким чином диференціальне рівняння в кожній крапці даної області задає напрям дотичної до кривої рішення. Через кожну крапку проходить єдина інтегральна крива.

Будь-яке диференціальне рівняння n - порядку, яке можна дозволити щодо старшої похідної, легко зводиться з n рівнянь першого порядку шляхом введення нових змінних.

у⁽ⁿ⁾= f(x; y', y''..., у^(n-1))

y₁ = у

y₂ = y'

y₃ = y'' (6)

...

y_n = у^(n-1)

тоді

(7)

Чисельне рішення задачі Коші полягає в побудові таблиці наближених значень y₁, y_2..., y_m рішення рівняння в крапках (вузлах) сітки:

x_i = x₀ + ih, i = 1, 2..., M; x₀ = а, x_m = b; h - крок інтеграції

1. Метод ламаної Ейлера

Дано: y'(x)= f(x, у(x))

x Î [ а, b ] (8)

x₀ = а, у(а)= S

Знайти: таблицю наближених значень y₁, y₂...y_m рішення рівняння (1) в точках сітки:

___

x_i = x₀ + i_h, i = 1,m

Рис. 20

y'(а)= tg j₀ = ¦(а, S) (рис 20)

y₁ = S + h tg j₀ ;

y₁'= tg j₁ = ¦(x₁, y₁ );

y₂'= y₁ + h tg j₁ і т.д.

y_i = tg j_i

y_i+1 = y_i + h ¦(x_i,y_i)

т.ч. в методі Ейлера величини y_i = у(x_i) обчислюються по формулі

y_i+1 = y_i + h ¦(x_i, y_i)

за умови, що

y₀ = у(x₀ ) а = x₀ < x₁ <... < x_m = b

Цю формулу можна одержати з наступних міркувань.

Розкладемо y_i+1 = у(x_i + h) в ряд Тейлора в околиці точки x_i:

y_i+1 = у(x_i + h)= у(x_i )+ h y' ₍ x_i) + h² y''(x_i)+...

але

y'(x_i )= ¦(x_i, у(x_i))

тому

y_i+1 = у(x_i )+ h ¦(x_i, у(x_i )) + h² ¦'(x_i, у(x_i ))+...

Цей метод допускає просту геометричну інтерпретацію.

Погрішність даного методу рівна Q(h²) - це місце першого порядку. Основний недолік методу - накопичення помилок. Блок-схема представлена на рис. 21.

Основні позначення:

М - число крапок сітки, N - порядок системи, X - початкове значення (x₀), У - масив з N чисел, що містить початкові значення, Р - ім'я зовнішньої підпрограми, що обчислює значення правих частин рівнянь по заданих X і У, F - робочий масив розмірністю N, що містить значення правих частин рівнянь, А, В - межі інтервалу визначення X.

Приклад: На відрізку [0, 0.03] скласти таблицю значень наближеного рішення диференціального рівняння

y'' = 3y' - 2y + 2x - 3 (9)

задовольняючого початковим умовам

у(0)= 1 y'(0)= 2

вибравши крок інтеграції h=0.05.

Приведемо рівняння (9) до системи вигляду (7) таким чином. Позначимо у через y₁ і y' через y₂. Тоді одержимо систему

у₁' = y₂

y₂' = 3y₂ - 2y₁ + 2x-3

з початковими умовами y₁(0)= 1, y₂(0)= 2.

Таким чином, F(1)= У(2); F(2)= 3*Y(2) - 2*Y(1)+ 2*X – 3

Рис.21

2 Метод Рунге-Кутта

Одним з найбільш поширених методів чисельного вирішення диференціальних рівнянь (систем рівнянь) є метод четвертого порядку, званий "метод Рунге-Кутта".

В цьому методі величину y_i+1 обчислюють по формулі

y_i+1 = y_i + h F(x_i, y_i, h)

де

F(x_i, y_i, h)= 1/6 (К_1i + 2K_2i + 2K_3i + K_4i )

К₁i = ¦ (x_i, y_i ), K_2i = ¦(x_i + h/2, y_i + h К_1i/2)

K_3i = ¦(x_i + h/2, y_i + h К_1i/2)

K_4i = ¦(x_i + h, y_i + h К_3i)

При оцінці погрішності використовують правило Рунге: для цього проводять обчислення спочатку з кроком h, потім з кроком h/2.

Якщо Y_i - наближення, обчислене з кроком h, а y_i наближення, обчислене з кроком h/2, то справедлива оцінка:

Блок-схема алгоритму на рис. 22

Приклад 1. Вирішення рівняння у’’=-y’+2*yx, с початковими умовами y(0)=1, y’(0)=3 на відрізку [0, 10] за допомогою пакету MathCAD.

Список рекомендованої літератури

1. Калиткин Н.Н. Чисельні методи - М.: Наука, 1978 - 512с
2. Обчислювальна техніка в інженерних і економічних розрахунках:-Учеб. для вузів 2-е вид., пераб. і доп./ Під ред. Петрова.- М.:Висш. шк., 1984 - 320 с.
3. Плис І., Сливина Н.А. Лабораторний практикум по вищій математиці - М.:Висш. шк., 1983 - 208 с.
4. Сергованцев В.Т., Смирнов С.М. Збірка задач по обчислювальній техніці в інженерних і економічних розрахунках. - М.: Фінанси і статистика 1985 - 160 с.
5. Бронштейн И.Н., Семендяєв К.А. Довідник по математиці. - М.:Наука,1986 - 544 с.
6. Вовків Е.А.Численні методи Навчальний посібник для вузів. - М.: Наука 1987 - 248 с.
7. Д’яконов В. П. MathCAD 2000 - Спеціальний довідник - СПб, Питер, 2000
8. Плис А.І., Сливина Н.А. MathCAD 2000. Математичний практикум для економістів та інженерів. М., Фінанси і статистика, 2000
9. Д’яконов В. П., Абраменкова І.В. MathCAD 7.0 В математиці, фізиці та в Internet. М., Нолидж, 1999

Зміст

Індивідуальне завдання 1. 4

Рішення системи лінійних рівнянь методом Гауса

Індивідуальне завдання 2. 13

Чисельні методи обчислення певних інтегралів

Індивідуальне завдання 3. 21

Чисельні методи рішення задачі оптимізації

Індивідуальне завдання 4. 30

Обробка експериментальних даних. Вибір апроксимуючої функції.

Визначення параметрів цієї функції методом найменших квадратів

Індивідуальне завдання 5. 42

Чисельні методи рішення задачі Коші для простих диференціальних

рівнянь