Варіанти індивідуального завдання 2

№ піп	Підінтегральна функція	Межі інтегрування	Формула Ньютона-Лейбніца	Точність обчислення	Початкове число розбивки	Метод обчислення
		[ 2, 5 ]	-	10-4		Симпсона
		[ 0, 2 ]	1/4 ln(a4+x4)	10-3		Симпсона
31		[ 0, 2 ]	-	10-3		Трапецій, прямокутників
42		[ 0, x ], xÎ[0,1], крок 0,25	-	10-4		Симпсона
52		[ 0, x ], xÎ[0,2], крок 0,25	-	10-4		Трапецій
62		[ 0, x ], xÎ[0,1], крок 0,25	-	10-4		Симпсона
		[-p/3,-p/4]	x-1/a*tg(ax/2)	10-3		Симпсона
	x cos(ax), a=2.5	[0, p/3]	-	10-4		Симпсона
		[ 0, 3 ]		10-4		Трапецій
		[ 1, 5 ]		10-5		Прямокутників
		[ 1, 5 ]		10-4		Симпсона
		[ 1, 2 ]		10-5		Трапецій
	cos2(ax),a=1,15	[-p/4,p/4]		10-3		Симпсона
		[ 0, 6 ]		10-4		Симпсона
152	(x-5)2(10-x)	[ 0, 20 ]	-	10-5		Трапецій та прямо кутників
		[ -1, 2 ]	-	10-5		Трапецій та прямо кутників
		[ 0, 5 ]	-	10-4		Трапецій та Симпсона
		[1,3]	-0.25 ln(a4-x4)	10-3		Симпсона
19*	esin2(x) sin(3x)	[0,p]	-	10-4		Симпсона
		[0.1, p /2]	-	10-4		Прямо кутників, трапецій
		[0,1]	-	10-3		Прямокутників, трапецій, Симпсона
		[-1,1]		10-4		Симпсона
		[0,2]		10-3		Симпсона
	ecos(x)cos(2x)	[0, p]	-	10-4		Симпсона
	cos2(2x)	[-2,2]	-	10-4		Симпсона
		[-1,1]	-	10-4		Прямокутників, трапецій
	a2 - x2 a=15.36	[1,5]		10-4		Трапецій
		[1,3]		10-3		Прямокутників
		[1,4]		10-4		Симпсона
303		[2,5]		10-4		Симпсона

Примітки:

1. Порівняти результат, одержаний по формулі трапецій і по формулі прямокутників за 5 ітерацій (на кожній ітерації число розбиття збільшується удвічі).

2. Побудувати таблицю функції F(x) на вказаному відрізку з вказаним кроком.

3. Порівняти результат, одержаний по формулі Симпсона і по формулі Ньютона-Лейбніца, якщо за 5 ітерацій задана точність не досягнута, то вивести відповідне повідомлення.

Зауваження:

1. У всіх варіантах, в яких вказана формула Ньютона-Лейбніца, проводяться обчислення по даній формулі і результат порівнюється з величиною, одержаною з використанням наближених методів обчислення певних інтегралів.

2. Результати виводяться з відповідними коментарями.

Короткі відомості з теорії та основні алгоритми

Визначення

Певний інтеграл з межами інтеграції а і b можна представити як площу фігури, яка обмежена ординатами а і b, віссю абсцис x та графіком підінтегральної функції f(x) (Рис.4)

Рис. 4.

Звичайний інтеграл, у якого відома його первісна

F(x)(F'(x)= ¦(x))

обчислюється по формулі Ньютона-Лейбніца

I = F(b) - F(а)

тому достатньо обчислити значення функції F(x)

Чисельне інтегрування застосовується, коли знаходження F(x) складне або неможливе. Воно полягає в інтерполяції ¦(x) на відрізку [а,b] відповідним поліномом, для якого певний інтеграл обчислюється по формулах чисельної інтегрування. Звичайно відрізок [а,b] розбивається на m частин, до кожної з яких застосовується відповідна проста формула. Таким чином одержують складові формули чисельного інтегрування.

2.1. Метод прямокутників

Метод прямокутників - найпростіший прийом чисельного інтегрування, в якому функція ¦(x) замінюється інтерполяційним багаточленом нульового порядку.

Рис. 5.

Функцію ¦(x) на інтервалі [-h/2,h/2] (Рис.5,а) можна замінити на ¦₀=const, тоді

Це і є формула прямокутників, тобто S1 = ¦_0* h

Для підвищення точності інтегрування відрізок [а, b] розбивається на m частин і формула прямокутників застосовується до кожного відрізку, на якому значення функції ¦(x) замінюється константою.

формула лівих прямокутників (Рис.5,в)

формула правих прямокутників (Рис.5,с)

2.2. Метод трапецій

Метод трапецій полягає в заміні функції ¦(x) на інтервалі [а,b] інтерполяційним багаточленом першого порядку (лінійна інтерполяція), Рис. 6,а

Рис.6

Функцію ¦(x) на інтервалі [0,h] можна замінити інтерполяційним багаточленом першого ступеня у формі Лагранжа або Ньютона:

¦(x)»¦₀₊₍¦_1-¦₀)*x/h )

тоді

а це і є площа прямокутників

Для підвищення точності інтерполяції відрізок [а,b] розбивається на m частин і формула трапецій застосовується до кожного відрізка, на якому значення функції f(x) замінюється інтерполяційним багаточленом першого ступеня (Рис. 6,в)

Метод парабол (Симпсона)

Метод парабол полягає в заміні функції ¦(x) на інтервалі [а,b] інтерполяційним багаточленом другого порядку (квадратична інтерполяція) Рис. 7.а. Парабола проходить через крапки з координатами (-h ¦_-1); (0 ¦₀); (h ¦₁).

Рис. 7

(після розкриття дужок і приведення подібних)

формула парабол

Для підвищення точності інтегрування відрізок [а,b] розбивається на 2m частин і формула парабол застосовується до кожного відрізку [x_2f,x_2f+2], на якому значення функції f(x) замінюється інтерполяційним багаточленом другого ступеня (Рис. 7, в)

Підсумуємо по всіх інтервалах

Формулу Симпсона можна записати у вигляді

позначивши N=2m, маємо

Блок-схеми алгоритмів приведені на рис.8.

Рекомендації. Алгоритм обчислення підінтегральної функції оформити у вигляді функції користувача.

Приклад 1. Обчислення певного інтеграла за допомогою чисельних методів в MathCad.