Форма Лагранжа

Інтерполяційний багаточлен Лагранжа, побудований по таблиці

(x1, y1); (x2, y2);

(x3, y3);…, (xn, yn), має вигляд

. (1)

3.1.1 Лінійна інтерполяція

Хай задана таблиця x₁, x₂, …, x_n ü

y₁, y₂, …, y_n þ, xi – різні.

Необхідно обчислити у в крапці x:

x_i1, x_i2 – найближчі до х вузли з набору x₁, x₂, …, x_n. Лінійна інтерполяція здійснюється по двох найближчих крапках.

Приклад 1

a). х Î [ x₁, x₂ ].

Тоді x_i1 = x₁; y_i1 = y₁,

x_i2 = x₂; y_i2 = y₂,

b). х Î [ x₄, x₅ ]

x_i1 = x₄; y_i1 = y₄,

x_i2 = x₅; y_i2 = y₅, (рис. 12).

Рис. 12

На рис.13 представлена блок-схема алгоритму розрахунку інтерполяційного значення функції в крапці x по двох найближчих вузлових крапках, координати яких є початковими даними.

Основні позначення:

x₀ – значення х, при якому обчислюється інтерполяційне значення у;

у₀ – інтерполяційне значення в крапці х0;

L – код помилки;

x(1), x(2) – табличні значення аргументів;

у(1), у(2) – табличні значення функції.

Рис. 13

На малюнку 14 представлена блок-схема алгоритму розрахунку інтерполяційного значення функції в будь-якій точці х з вибором найближчих вузлових крапок, по яким буде проводитися інтерполяція. Початковими даними є координати всіх експериментальних крапок і значення х, для якого потрібно обчислити інтерполяційне значення функції.

3.1.2. Квадратична інтерполяція

де x_i1, x_i2, x_i3 – найближчі до х вузлові крапки (рис. 15).

Квадратична інтерполяція здійснюється по трьох найближчих крапках.