Короткі відомості з теорії та приклади розв’язання задач

Визначення нелінійного рівняння

F(x)=0, де F(x) –функція, нелінійна щодо невідомого.

Приклади:

а) e^{x +2}-ln(x)+5=0;

б) sin(x+5) -tg2(x) -7=0;

в) x⁵-4x⁴+3x²-10=0.

Вирішити нелінійне рівняння – знайти значення х для якого F(x)=0.

2.1. Метод простих ітерацій (знаходження кореня рівняння x = f(x))

Дано: F(x)=0, x0 Î [ а; b].

Метод простих ітерацій заснований на представленні рівняння F(x)=0 у вигляді:x=f(x) та багатократному вживанні формули xn+1= f(xn) до тих пір, поки дотримується умова | xn+1- xn| ≤ε, де ε – задана погрішність обчислення кореня x. Блок-схема алгоритму представлена на Рис. 5.

Геометрична інтерпретація методу ітерацій

При 0 < │f(x)│< 1 {x_n} сходиться до x* з тієї сторони, з якою розташовано початкове наближення малюнок 3, а та б.

При -1 < │f(x)│< 1 послідовні наближення {x_n} по черзі розташовані з різних сторін від рішення x*, малюнок 4, а та б.

При │f(x)│> 1 {x_n} не сходиться до x*, тому треба скористатися іншим чисельним методом рішення нелінійного рівняння F(x)=0.

x* – рішення нелінійного рівняння;

х0 – початкове наближення.

Рис. 3.

Рис. 4.

Вибір початкового наближення: значення X = А або X = B, або X= (A+B) /2 може бути вибрано як початкове наближення.

Рис. 5.

Приклад 1: x2-ln(x) -2=0;

F(x)= x2 - ln(x) -2 Þ x = ;

f (x) =