Отметим некоторые свойства бесконечно малых функций

Теорема 4 (свойства бесконечно малых функций).

-Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

-Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая.

-Произведение конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой.

Доказательство. Докажем для примера первое утверждение теоремы для двух бесконечно малых.

Из того, что существует lim_{x® a}a(x) = 0, следует, что " e>0 $ d₁(e)>0 такое, что " x: 0<|x-a|<d₁ выполняется неравенство
|a(x)|< e/2. Аналогично, из существования предела lim_{x® a} b(x) = 0, следует " e>0 $ d₂(e)>0 такое, что " x: 0<|x-a|<d₂
выполняется неравенство |b(x)|< e/2. Тогда " x: 0<|x-a|<d = min{d₁,d₂} выполнятся оба неравенства одновременно, то есть

| a(x)+b(x) | £ | a(x) |+| b(x) |< e.

Определение (бесконечно большая функция): Функция называется бесконечно большой при x ® a или в точке a, если для любого положительного числа e найдется такое положительное d(e), что для всех x¹ a и удовлетворяющих условию |x-a|<d будет выполнено неравенство |f(x)|>e.

Аналогично можно дать определение бесконечно большой при x® ¥. Приведем его в символической записи:

lim _x ® ¥ f (x) = ¥ Û " e>0 $ d(e)>0 " x:|x|> d |f (x) |> e.

Предложение 1. a(x) бесконечно малая функция при x ® a Û 1 / a(x) — бесконечно большая при x ® a

Пример 11. y = x² – бесконечно малая функция при x ® 0, а y = 1/x² – бесконечно большая при x ® 0.