Матричная алгебра

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1. Матрицы. Основные определения. Операции над матрицами (сложение, умножение на число, вычитание, умножение матриц, транспонирование, обращение) и свойства этих операций.

1.2. Определители. Определение определителей второго и третьего порядка. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Определение определителей n-го порядка. Свойства определителей (десять свойств). Практический способ вычисления определителей n-го порядка.

1.3. Существование и единственность обратной матрицы. Формула для нахождения обратной матрицы.

1.4. Ранг матрицы. Миноры k-го порядка. Определение ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров. Метод вычисления ранга с помощью элементарных преобразований. Теорема об элементарных преобразованиях.

2. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО ВЕКТОРОВ

2.1. Определение арифметического n-мерного вектора

2.2. Операции над векторами (равенство, сумма, произведение вектора на число). Свойства операций (8 аксиом).

2.3. Определение арифметического n-го векторного пространства.

2.4. Линейная комбинация векторов. Линейная оболочка векторов.

3. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ

ВЕКТОРОВ

3.1. Определение. Свойства линейной зависимости.

3.2. Определение максимальной линейно независимой системы векторов.

3.3. Линейно зависимые и линейно независимые системы в . Определение коллинеарности и компланарности векторов.

3.4. Линейно зависимые и независимые системы в . Треугольные системы.

3.5. Теорема о ранге матрицы (ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк и максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы).

3.6. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя.

4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Определение системы n линейных уравнений с m

неизвестными.

4.2. Совместные и несовместные системы.

4.3. Определенные и неопределенные системы.

4.4. Однородные системы уравнений.

4.5. Теорема Кронекера-Капелли.

4.6. Методы решения систем линейных уравнений:метод Крамера, метод обратной матрицы,метод Гаусса.

4.7. Решение однородных систем линейных уравнений. Общее решение, частные решения, фундаментальная система решений.

4.8. Связь между решениями однородной и неоднородной систем линейных уравнений.

5. СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ

5.1. Определение собственного вектора и собственного числа матрицы.

5.2. Характеристический многочлен матрицы.

5.3. Алгоритм нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы.

6. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

6.1. Определение линейного пространства.

6.2. Примеры линейных пространств.

6.3. Подпространства линейного пространства.

6.4. Примеры подпространств.

6.5. Базис и размерность линейного пространства.

6.6. Примеры базисов в различных пространствах.

6.7. Размерность линейного пространства. Теорема о базисе.

6.8. Преобразование координат вектора при замене базиса. Матрица перехода от старого базиса к новому.

6.9. Ранг и базис системы векторов.

7. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА.

7.1. Определение скалярного произведения векторов.

7.2. Определение евклидова пространства .

7.3. Неравенство Коши-Буняковского.

7.4. Неравенство треугольника.

7.5. Ортогональные системы векторов.

7.6. Переход от линейно независимой системы векторов к ортогональной системе векторов (метод ортогонализации Грама-Шмидта).

7.7. Ортонормированные системы векторов.

8. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

8.1. Определение линейного оператора.

8.2. Образ и ядро линейного оператора. Примеры.

8.3. Матрица линейного оператора. Примеры.

8.4. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

8.5. Сопряженные и самосопряженные линейные операторы. Их матрицы.

8.6. Собственные числа и собственные векторы самосопряженного оператора.

8.7. Теорема о существовании ортонормированного базиса из собственных векторов для самосопряженного оператора.

9. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

9.1. Определение линейной функции и формы. Примеры.

9.2. Определение билинейной функции и формы. Примеры.

9.3. Определение квадратичной формы. Примеры.

9.4. Преобразования квадратичной формы, матрица квадратичной формы.

9.5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

9.6. Закон инерции квадратичных форм.

9.7. Положительно определенные квадратичные формы.

9.8. Критерий Сильвестра.

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ В ЭКОНОМИКЕ И ЛИНЕЙНЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

1.1. Собственные векторы неотрицательных матриц. Теорема Фробениуса-Перона. Число и вектор Фробениуса.

1.2. Балансовые модели

1.2.1. Модель Леонтьева.

1.2.2. Продуктивные модели Леонтьева. Определение продуктивной матрицы. Два критерия продуктивности матрицы. Запас продуктивности матрицы.

1.2.3. Модель международной торговли.