И контрольные задания

Федеральное агентство по образованию

Красноярский государственный университет

МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА

В ЭКОНОМИКЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Красноярск 2006

Составитель Т.И. Качаева

Матричная алгебра в экономике: методические указания и контрольные задания / Красноярский государственный университет; составитель Т.И. Качаева. – Красноярск, 2006. – 36 с. (экспресс- издание)

Предназначено для студентов –заочников

экономического факультета.

@ Красноярский

Государственный

Университет, 2006

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

1. Контрольная работа должна выполняться самостоятельно.
2. При решении задач нужно обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса.
3. Решение задачи должны доводиться до ответа
4. Полученный ответ следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи.
5. Не следует применять формулы, которые не входят в программу курса.
6. Работа выполняется в отдельной тетради.
7. Условия задач должны быть переписаны полностью.
8. На обложке должны быть аккуратно записаны:

1) Фамилия, имя, отчество.

2) Курс, номер группы.

3) Номер варианта

4) Номер зачетной книжки.

1. Контрольная работа должна быть выполнена в срок (за 2 недели до сессии). В период сессии работы на проверку не принимаются.
2. Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и назад не возвращается.
3. Студенты, не имеющие контрольные работы, к экзамену не допускаются.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПРИМЕР 1. Выполнить действия в алгебраической форме. Результат записать в тригонометрической и показательной формах.

РЕШЕНИЕ: Алгебраическая форма комплексного числа z:

z=x+iy, , i - мнимая единица, причем .

Выполним действия:

.

z=3+3i –результат в алгебраической форме.

Тригонометрическая форма комплексного числа z:

, где

, .

Т.к. х>0 и y>0 то число находится в 1-oй четверти.

,

( - угол в 1-ой четверти)

Показательная форма комплексного числа:

, поэтому

Ответ:

ПРИМЕР 2. Вычислить по формуле Муавра:

2.1.

РЕШЕНИЕ: Формула Муавра:

Найдем тригонометрическую форму числа .

, .

Т.к. x>0, y<0, то число находится в 4-oй четверти, отсюда .

.

Ответ: =

2.2.

РЕШЕНИЕ: Формула Муавра:

, где .

Найдем тригонометрическую форму z =-625.

, так как x<0, y=0, то число находится на

отрицательной части оси Х, т. е. .

, где

и количество корней равно 4, все различные.

,

,

,

.

Ответ: , ,

, .

ПРИМЕР 3. Разложить многочлен на неприводимые множители в R и линейные множители в С, используя схему Горнера. Сделать проверку.

РЕШЕНИЕ: Так как у многочлена с действительными коэффициентами корни являются делителями свободного члена, то делителями являются числа: .

По схеме Горнера выясним, какие из них являются корнями многочлена Р(х).

			-3		-18
			-1		-16
-1			-3		-24
-2
-3

х=1 не является корнем

х=-1 не является корнем

- корень

х=-2 не является корнем

х=3 не является корнем

- корень

Итак: -

- разложение в R.

, , отсюда

-

- разложение в С.

Проверка:

ПРИМЕР 4. Используя свойства определителей, вычислить определитель:

РЕШЕНИЕ: Будем использовать следующие свойства определителей:

1) перестановка строк и столбцов меняет знак определителя;

2) если умножить строку (столбец) на число и сложить с другой строкой (столбцом), то определитель не изменится;

3) из строки (столбца) можно вынести общий множитель k;

4) определитель равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Сделаем преобразования:

Складываем 3-ю строку со 2-ой строкой умноженной на (-1), записываем 3-ей строкой.

Складываем 4-ую строку с 1-ой, записываем 4-ой строкой.

5-ую строку складываем со 2-ой, умноженной на 4, записываем 5-ой строкой.

1-ую строку складываем со 2-ой умноженной на (-5) и записываем 1-ой строкой. Получаем:

Преобразуем:

Складываем 4-ый столбец с 1-ым, записываем 1-ым столбцом.

Складываем 4-ый столбец со 2-ым, записываем 2-ым столбцом.

Складываем 3-ий столбец с 4-ым, умноженным на (-1), записываем 3-им столбцом. В результате:

Складываем 1-ый столбец со 2-ым, умноженным на (-1), записываем 1-ым столбцом. В итоге:

Ответ: .

ПРИМЕР 5. Доказать совместность системы

и решить

а) методом Гаусса,

б) методом Крамера,

в) матричным способом.

РЕШЕНИЕ: По теореме Кронекера –Капелли:

Система совместна тогда и только тогда, когда .

А) Выпишем расширенную матрицу и преобразуем ее по методу Гаусса:

Произведем преобразования:

Умножим 1-ую строку на 3, а 2-ую строку на (-2) сложим их и запишем 2-ой строкой.

Умножим 1-ую и 2-ую строки на (-1) и сложим все три строки вместе, запишем 3-ей строкой.

После преобразований получается:

Умножим 2-ую строку на 4, а 3-ю на 7, сложим и запишем 3-ей строкой. В итоге получаем cледующую матрицу:

.

Итак, система совместна, так как и имеет единственное решение, так как (n- число неизвестных).

Найдем решение:

Из последнего уравнения:

Из второго уравнения:

Из первого уравнения:

Ответ: , , .

Б) Метод Крамера:

Ответ: , ,

В) Метод обратной матрицы:

АХ=В, тогда ,

Ищем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

, , ,

, , ,

, , ,

. Тогда

.

Ответ: , , .

ПРИМЕР 6. Доказать, что векторы , , образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе.

РЕШЕНИЕ: В любые три линейно независимых вектора образуют базис. Координаты вектора , где . Запишем это равенство в матричном виде:

, т.е.

r(A)=3 - линейно независимы, образуют базис. Обратным ходом метода Гаусса находим =2, далее - -2=-1, =-1. Первое уравнение , =6+2-6=2, =2.

Итак, координаты .

ПРИМЕР 7. Образует ли линейное пространство множество квадратных трехчленов?

РЕШЕНИЕ: Надо выяснить:

1) можно ли определить две операции (сложение и умножение на число) на этом множестве?

2) выполняются ли 8 аксиом на этом множестве?

Возьмем два квадратных трехчлена:

и .

Найдем их сумму: .

Например, если , то сумма двух квадратных трехчленов не будет квадратным трехчленом, т.е. . Значит, операция сложения на множестве не определена. Следовательно, множество квадратных трехчленов не является линейным пространством.

ПРИМЕР 8. Найти собственные числа и векторы матрицы

.

РЕШЕНИЕ: Ненулевой вектор , такой, что Ах= х, называется собственнымвектором матрицы А, а соответствующее число , называется собственным числом матрицы А.

Из определения следует, что Ах - х=0, т.е. (А- Е)х=0, т.е. собственный вектор, есть решение однородной системы с матрицей А- Е.

Чтобы эта система имела ненулевое решение, надо, чтобы =0. Корни этого уравнения и будут собственными числами матрицы.

Найдем их.

= =0

Найдем характеристический многочлен:

(1- )(5- )(1- )+3+3-9(5- )-(1- )-(1- )=0

Раскроем скобки и приведем подобные:

.

Найдем один корень по схеме Горнера из делителей свободного члена:

		-7
		-1	-6

Итак, =6.

Значит .

Найдем корни по теореме Виета: , .

Получили три собственных числа:

=6, , .

Найдем собственные векторы:

А) =6

А-6Е=

r=2, базисные неизвестные свободные неизвестные = с.

Из второго уравнения:

, .

Из первого уравнения:

,

Итак: , , т.к. .

Проверка: Ах = х, т.е. ,

- верно.

Аналогично находятся остальные собственные векторы.

ПРИМЕР 9. Исследовать по определению, являются ли векторы , , линейно зависимыми.

РЕШЕНИЕ: Векторы , , линейно зависимы, если равенство + + = выполняется, хотя бы при одном отличном от нуля.

+ + =0.

Т.е. надо решить однородную систему уравнений с

, .

Однородная система всегда совместна.

Найдем решение методом Гаусса:

r(A)=3 n=3. Система имеет единственное решение,

оно нулевое, т.е. , , , векторов

, , линейно зависимы.

ПРИМЕР 10. Найти общее решение, частное и фундаментальную систему решений системы:

РЕШЕНИЕ: Составим матрицу системы:

и решим ее методом Гаусса:

, r(A)=2, число неизвестных n=3, система совместна, т.к. однородна и неопределенна (имеет бесконечное множество решений). Базисные неизвестные и свободные неизвестные

. Выразим базисные неизвестные через свободные из второго уравнения:

, .

Из первого уравнения:

, .

1) Общее решение системы:

,

2) Частное решение:

Положим, например , , получаем ,

3) Фундаментальная система состоит из n-r решений n-r=4-2=2. Полагая , и , получим , .

Общее решение: .

ПРИМЕР 11. Выяснить знакоопределенность квадратичной формы:

РЕШЕНИЕ: Квадратичная форма от четырех переменных имеет вид:

где , , .

Найдем матрицу квадратичной формы:

.

Критерий Сильвестра:

Квадратичная форма положительно определена , когда угловые миноры положительны.

, , . Итак квадратичная форма - неопределенная.

ПРИМЕР 12. Найти каноническое уравнение кривой:

РЕШЕНИЕ:

1) Найдем матрицу кривой

.

2) Найдем инварианты кривой:

, ,

кривая эллиптического типа.

Т.к. , , эллипс.

3) Найдем собственные числа:

, т.е. , ,

, , .

4) Найдем каноническое уравнение эллипса:

, , ,

т.е. - каноническое уравнение эллипса.

ПРИМЕР 13. Найти проекцию точки P(1,2,0) на плоскость :

x+2y-3z+3=0.

РЕШЕНИЕ:

1) Найдем уравнение прямой, перпендикулярной плоскости , проходящей через точку Р. Т.к. нормаль плоскости параллельна прямой, то она является направляющим вектором нашей прямой, т.е.

.

Тогда канонические уравнения прямой: ,

где , т.е. .

3) Найдем параметрические уравнения этой прямой:

4) Найдем точку пересечения прямой и плоскости, она и будет проекцией точки Р.

Подставим x, y, z из параметрических уравнений прямой в уравнение плоскости:

1+t+2(2+2t)-3(-3t)+3=0,

t+4t-9t+1+4+3=0, -4t+8=0, t=2.

Тогда , , , т.е.

Ответ:

ПРИМЕР 14. Найти расстояние между прямыми

и .

РЕШЕНИЕ: Прямые характеризуются направляющими векторами и , и точками и , через которые они проходят. Расстояние, между скрещивающимися прямыми, равно

, тогда

тогда .

Найдем

.

Тогда .

Ответ: .

ПРИМЕР 15. Найти расстояние от точки до прямой .

РЕШЕНИЕ:

1) Найдем канонические уравнения прямой. Т.к. прямая лежит в первой плоскости, то ее направляющий вектор перпендикулярен . Т.к. прямая лежит и во второй плоскости, то перпендикулярен . Тогда .

2) Найдем точку на прямой, для этого возьмем, например, , получаем: . Отсюда , . Итак .

3) Расстояние от точки М до прямой равно . Найдем . Найдем ,

.

Ответ: .