Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Рассмотрим n -мерное векторное пространство Rn, снабженное стандартным скалярным произведением: т.е. если
.
Пусть
(5.25)
(5.26)
где y – вектор столбец размерности фактических значений отклика;
a и b – числовые коэффициенты подлежащие определению т.е a - свободный член и b -коэффициент регрессии;
– вектор размерности , составленный из реальных значений фактора;
- вектор размерности , составленный из единиц;
- вектор, лежащий в двумерной гиперплоскости π, натянутой на векторы и . Мы предполагаем, что эти векторы не коллинеарны. Поставим задачу: найти такие a и b, чтобы вектор e имел наименьшую длину. Другими словами мы хотим наилучшим образом аппроксимировать вектор y вектором , лежащим в гиперплоскости π. Очевидно, что решением является такой вектор , для которого вектор e перпендикулярен плоскости π. Для этого необходимо и достаточно, чтобы вектор был ортогонален векторам и , порождающим плоскость π. (рис. 5.3)
Рис. 5.3 Геометрическая интерпретация построения уравнения регрессии
(5.27)
Используя определение вектора e, получаем следующие соотношения
(5.28)
Раскрыв скобки в последней системе (5.28) получим известные соотношения (5.8).
Также красивую и ясную геометрическую интерпретацию имеет коэффициент детерминированности . Рассмотрим рис.5.4. Вектор является ортогональной проекцией вектора на вектор Вектор - это ортогональная проекция вектора y на двумерную гиперплоскость π, натянутой на векторы и .
Рис. 5.4 Геометрическую интерпретацию имеет коэффициент детерминированности
По теореме о трех перпендикулярах ортогональная проекция вектора на вектор совпадает с . Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами , и e, для него справедливатеорема Пифагора
(5.29)
Это равенство является геометрическим аналогом соотношения (5.10). Сопоставляя соотношения (5.10), (5.27) и (5.11), получаем соотношение
,
где φ угол между сторонами и .
Таким образом, для справедливо следующее соотношение
.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 346 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!