Апроксимація експериментальних даних

Завдання 8.1. Виконати лінійну апроксимацію даних з використанням вбудованих функцій intercept(x,y), що повертає значення параметра a, slope(x,y) – значення b для рівняння функції f(x) = a+b*x. Представити результати апроксимації таблично і графічно разом з даними експерименту.

Завдання 8.2. Виконати апроксимацію даних, використавши метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен

Функція mnk, формує многочлен степені m по методу найменшихквадратів, повертаючи вектор a коефіцієнтів многочлена:

Вхідні параметри: x, y - вектори заданих даних; n+1 - розмір x,y.

Тут формується вектор правої частини і матриці нормальної системи Гa=b метода найменших квадратів (базисні функції - 1, x, x²,..., x^m); lsolve - вбудована функція MATHCAD, яка знаходить рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь Ga=b.

Обчислення коефіцієнтів многочленів степені 0,1,2,3 по методу найменших квадратів:

а0:=mnk(x,y,n,0)

а1:=mnk(x,y,n,1)

а2:=mnk(x,y,n,2)

а3:=mnk(x,y,n,3)

Функція P повертає значення многочлена степені m в точці t; многочлен задається за допомогою вектора коефіцієнтів a:

Функція повертає значення середньоквадратичного відхилення многочлена P(a,m,t):

Необхідно представити графіки многочленів степені 0,1,2 і точечний графік заданої функції:

t:=x₀, x₀+0.05..x_n

i:=0..n

Завдання 8.3. Лінійна регресія загального виду.

Для функцій, заданих в таблиці, обчислити коефіцієнти апроксимуючих многочленів першої, другої степені. Записати многочлени і построїти їх графіки, на які нанести задані табличні точки.

В Mathcad є можливість виконання лінійної регресії загального виду. При цьому задана сукупність точок наближається до функції виду:

F(x)=k1*F1(x)+k2*F2(x)+...+kn*Fn(x)

Таким чином, функція F(x) є лінійною комбінацією функцій F1(x),F2(x),...Fn(x), причому ці функції можуть бути нелінійні.

Для реалізації лінійної регресії загального виду використовується функція: linfit(X,Y,F), яка повертає вектор коефіцієнтів лінійної регресії загального виду К, при цьому похибка наближення початкових точок, координати яких задані векторами X і Y, є найменшою. Вектор F-повинен містити функції F1(x),F2(x),...Fn(x), записані в символьному вигляді.

Задавши вектори X,Y, визначимо F-вектор функцій, які використовуються в лінійній комбінації.

Вектор F для прикладу описаний трьома нелінійними функціями - x3, 1/x, ex.

Визначимо K-вектор коефіцієнтів лінійної регресії загального вигляду

Знаходимо значення коефіцієнтів функції регресії

Запишемо загальний вигляд функції g(t)-функції регресії у вигляді:

g(t)=k₁*F₁(x)+k₂*F₂(t)+...+k_n*F_n(t)

Або в матричній формі:

Для побудови графіку лінійної регресії загального виду вкажемо, як змінюється змінна t подібно до зміни Х і представимо вигляд графіку g(t) і точечний графік y.

Таблиця 15