Максимальное изменение запаса ресурса

При решении вопроса о том, запас какого из ресурсов следует увеличивать в первую очередь, обычно используются теневые цены. Чтобы определить интервал значений изменения запаса ресурса, при которых теневая цена данного ресурса, (фигурирующая в заключительной симплекс-таблице, остается неизменной, необходимо выполнить ряд дополнительных вычислений. Рассмотрим сначала соответствующие вычислительные процедуры, а затем покажем, как требуемая информация может быть получена из симплекс-таблицы для оптимального решения.

В нашей задаче запас первого ресурса изменился на ∆_1, т. е. запас бюджета составит 1000 + ∆₁. При положительной величине ∆₁, запас данного ресурса увеличивается, при отрицательной — уменьшается. Как правило, исследуется ситуация, когда объем ресурса увеличивается (∆₁ > 0), однако, чтобы получить результат в общем виде, рассмотрим оба случая.

Как изменится симплекс-таблица при изменении величины запаса ресурса на ∆₁? Проще всего получить ответ на этот вопрос, если ввести ∆₁ в правую часть первого ограничения начальной симплекс-таблицы и затем выполнить все алгебраические преобразования, соответствующие последовательности итераций. Поскольку правые части ограничений никогда не используются в качестве ведущих элементов, то очевидно, что каждую итерацию ∆₁ будут оказывать влияние только части ограничений (табл.2.12).

Таблица 2.12

Уравнение	Значения элементов правой части на соответствующих итерациях
	(начало вычислений)		2 (оптимум)
Z			2455/11
		1000+∆1	1000/55 + ∆1
			91/11

Фактически изменения правых частей ограничений, обусловленные введением ∆₁, можно определить непосредственно по данным, содержащимся в симплекс-таблицах. Прежде всего заметим, что на каждой итерации новая правая часть каждого ограничения представляет собой сумму двух величин: 1) постоянной и 2) члена, линейно зависящего от ∆₁. Постоянные соответствуют числам, которые фигурируют на соответствующих итерациях в правых частях ограничений симплекс-таблиц до введения ∆₁ . Коэффициенты при ∆₁, во вторых слагаемых равны коэффициентам при S₁, на той же итерации. Так, например, на последней итерации (оптимальное решение) постоянные (245⁵/₁₁ ; ¹⁰⁰⁰/₅₅ ; 9¹/₁₁) представляют собой числа, фигурирующие в правых частях ограничении оптимальной симплекс-таблицы до введения ∆₁. Коэффициенты (²⁷/₁₁₀ ; ¹/₅₅ ; ¹/₁₁₀) равны коэффициентам при S₁ в той же симплекс-таблице потому, что эта переменная связана только с первым ограничением. Другими словами, при анализе влияния изменений в правой части второго ограничения нужно пользоваться коэффициентами при переменной S₂.

Какие выводы можно сделать из полученных результатов? Так как введение ∆₁ сказывается лишь на правой части симплекс-таблицы, изменение запаса ресурса может повлиять только на допустимость решения. Поэтому ∆₁ не может принимать значений, при которых какая-либо из (базисных) переменных становится отрицательной. Из этого следует, что величина ∆₁ должна быть ограничена таким интервалом значений, при которых выполняется условие неотрицательности правых частей ограничений в результирующей симплекс-таблице, т. е.

Х₁ = ¹⁰⁰⁰/₅₅ + (¹/₅₅) ∆₁≥0;

Х₂ = 9¹/₁₁ + (¹/₁₁₀) ∆₁ =>0.

Для определения допустимого интервала изменения ∆₁ рассмотрим два случая.

Случай 1: ∆₁=> 0 Очевидно, что оба неравенства при этом условии всегда будут неотрицательными.

Случай 2: ∆₁< 0. Решаем неравенства: (1)

(^|/₅₅) ∆₁ ≥-¹⁰⁰⁰/₅₅ Из этого следует, что ∆₁ ≥ - 1000;

(¹/₁₁₀ ) ∆₁ ≥ -9¹/₁₁. Из этого следует, что ∆₁ ≥-1000.

Объединяя результаты, полученные для обоих случаев, можно сделать вывод, что при - 1000 ≤ ∆₁ ≤ + ∞ решение рассматриваемой задачи всегда будет допустимым, любое значение ∆_1, выходящее за пределы указанного интервала, приведет к недопустимости решения и новой совокупности базисных переменных.

Теперь рассмотрим в каких пределах может изменяться запас ресурса 2, анализ проведем по аналогичной схеме:

Запас 2-го ресурса изменился на ∆₁ т. е. запас рекламного времени составит 0 + ∆₂. Как изменилась симплекс-таблица при изменении величины запаса ресурса на ∆₂ проиллюстрировано ниже (табл. 2.13).

Таблица 2.13

Уравнение	Значения элементов правой части на соответствующих итерациях
	(начало вычислений)		2 (оптимум)
Z			2455/11
			1000/55
		0 + ∆2	91/11 + ∆2

Найдем интервал, ограничивающий величину ∆₂.

Х₁ = ¹⁰⁰⁰/₅₅ – (⁵⁰/₅₅) ∆₂ ; (1)

Х₂ = 9¹/₁₁ – (¹/₂₂) ∆₂ ; (2)

Для определения допустимого интервала изменения ∆₁ рассмотрим два случая.

Случай 1: ∆₂≥ 0 Решаем неравенства: (1)

(⁵⁰/₅₅ ) ∆₂ ≤¹⁰⁰⁰/₅₅ из этого неравенства следует, что ∆₂ ≤20.

Очевидно, что 2-ое уравнение неотрицательно на данном участке.

Объединяя два уравнения для Случая 1, мы получим интервал для ∆₂ .

∆₂ [ 0; 20 ]

Случай 2: ∆₂< 0. Решаем неравенства: (1)

(⁵⁰/₅₅ ) ∆₂ ≥ - ¹⁰⁰⁰/₅₅. Из этого следует, что ∆₂ ≤ 20.

(¹/₂₂ ) ∆₂ ≥ - 9¹/₁₁. Из этого следует, что ∆₂ ≥ - 200.

Объединяя 2 уравнения для Случая 2, мы получим интервал для ∆₂.

∆₂ [ -200; 0 ]

Объединяя 2 случая, мы получим интервал [ - 200; 20 ].

Максимальное изменение коэффициентов удельной прибыли (стоимости)

Наряду с определением допустимых изменений запасов ресурсов представляет интерес и установление интервала допустимых изменений коэффициентов удельной прибыли (или стоимости).

Следует отметить, что уравнение целевой функции никогда не используется в качестве ведущего уравнения. Поэтому любые изменения коэффициентов целевой функции окажут влияние только на Z-уравнение результирующей симплекс-таблицы. Это означает, что такие изменения могут сделать полученное решение неоптимальным. Наша цель заключается в том, чтобы найти интервалы значений изменений коэффициентов целевой функции (рассматривая каждый из коэффициентов отдельно), при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными.

Чтобы показать, как выполняются соответствующие вычисления, положим, что удельный объем сбыта, ассоциированной с переменной X₁,изменяется от 1 до 1+ , где может быть как положительным, так и отрицательным числом. Целевая Функция в этом случае принимает следующий вид:

Z = (1 + )Х₁ + 25Х₂.

Если воспользоваться данными начальной симплекс-таблицы и выполнить все вычисления, необходимые для получения заключительной симплекс-таблицы, то последнее Z-уравнение будет выглядеть следующим образом (табл.2.14):

Таблица 2.14

Базисные переменные	X1	Х2	S1	S2	Решение
Z			27/110 +1/55	5/22 - 50/55	2455/11 +1000/55

Коэффициенты при базисных переменных X₁, Х₂ и остаточных равными нулю. Это уравнение отличается от Z-уравнения до введения только наличием членов, содержащих . Коэффициенты при равны коэффициентам при соответствующих переменных в Z-уравнении симплекс-таблицы, используемых для полученного ранее оптимального решения (табл.2.15).

Таблица 2.15

Базисные переменные	X1	Х2	S1	S2	Решение
X1			1/55	- 50/55	1000/55

Мы рассматриваем X₁ - уравнение, так как коэффициент именно при этом переменной в выражении для целевой функции изменился на .

Оптимальные значения переменных будут оставаться неизменными при значениях , удовлетворяющих условию неотрицательности (задача на отыскание максимума) всех коэффициентов при небазисных переменных в Z-уравнении. Таким образом, должны выполняться следующие неравенства:

²⁷/₁₁₀ +¹/₅₅ ≥0;

⁵/₂₂ - ⁵⁰/₅₅ ≥ 0.

Из первого неравенства получаем, что ≥- 13,5, а из второго следует, что ≤ ¼. Эти результаты определяют пределы изменения коэффициента С₁ в виде следующего соотношения: - 13,5 ≤ ≤ ¼. Таким образом, при уменьшении коэффициента целевой функции при переменной X₁ до значения, равного 1 + (-13,5) = -12,5 или при его увеличении до 1 + 13,5 = 14,5 оптимальные значения переменных остаются неизменными. Однако оптимальное значение Z будет изменяться (в соответствии с выражением 245⁵/₁₁+¹⁰⁰⁰/₅₅ , где -13,5 ≤ ≤ <¼.

Х₂ изменяется от 25 до 25 + , где может быть как положительным, так и отрицательным числом. Целевая функция в этом случае принимает следующий вид:

Z = (25+ )X₂ + X₁.

Все предыдущее обсуждение касалось исследования изменения коэффициента при переменной, которой поставлено в соответствие ограничение, фигурирующее в симплекс-таблице. Однако такое ограничение имеется лишь в том случае, когда данная переменная является базисной (например, X₁ и Х₂). Если переменная небазисная, то в столбце, содержащем базисные переменные, она не будет представлена.

Любое изменение коэффициента целевой функции при небазисной переменной приводит лишь к тому, что в заключительной симплекс-таблице изменяется только этот коэффициент. Рассмотрим в качестве иллюстрации случай, когда коэффициент при переменной S1 (первой остаточной переменной) изменяется от 0 до . Выполнение преобразований, необходимых для получения заключительной симплекс таблицы (табл. 2.16), приводит к следующему результирующему Z-уравнению:

Таблица 2.16