Диаграммы Эйлера-Венна как геометрическая иллюстрация операций над множествами

Чтобы наглядно изображать множества, английский математик Джон Венн (1834-1923) предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости. Намного раньше Эйлер (1707-1783) для изображения отношений между множествами использовал круги. Позднее такие изображения получили названия диаграмм Эйлера-Венна.

Диаграммы – очень удобный инструмент, позволяющий изображать множества и иллюстрировать операции над ними. Это геометрические представления множеств.

Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него – кругов или каких-либо других замкнутых фигур, представляющих множества, входящие в универсальное. Фигуры находятся в определенном положении по отношению друг к другу. В наиболее общем случае они пересекаются. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, обозначают элементы соответствующих множеств.

Все множества на диаграммах обозначаются, как обычно, заглавными буквами латинского алфавита. Построив диаграмму, обычно штрихуют определенные области для обозначения вновь образованных множеств, или выделяют это множество каким-либо другим способом.

В таблице 1 приведены иллюстрации операций объединения, пересечения, разности, дополнения и симметрической разности двух множеств А и В, входящих в универсальное множество U.

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):