Якщо то

. (1.27)

Для сферичного конденсатора:

. (1.28)

Для кабелів, систем паралельних проводів введено поняття питомої ємності, тобто ємності, віднесеної до одиниці довжини кабелю.

(1.29)

Для коаксіального кабелю:

(1.30)

Для двох паралельних круглих проводів діаметром кож-ний і при віддалі між осями проводів h при умові (d h):

(1.31)

Запишемо формули, що визначають опір та ємність ділянки ізоляції.

(1.32)

Перемноживши праві і ліві частини, одержимо

(1.33)

Таким чином для будь-якого конденсатора або ділянки ізоляції добуток не залежить від габаритів і форми конденсатора, а залежить винятково від ε і ρ. Іноді у випадку, коли об’ємний опір значно перевищує , то в цю формулу може бути підставлено . Добуток має певний фізичний зміст: він є опором ізоляції, віднесеним до одиниці ємності. Крім цього цей добуток характеризує процес саморозряду конденсатора.

Рис.1.12. Залежність напруги на конденсаторі при його

саморозряді від часу та схема його саморозряду.

Рівняння спаду напруги u на електродах конденсатора в функції часу t, що був під напругою U ₀для схеми заміщення (рис.1.12) має вигляд:

(1.34)

– постійна саморозряду, тобто час, за який напруга U на конденсаторі зменшується в е = 2,718 разів. Чим більше , тим якість ізоляції якнайкраща.

На практиці часто приходиться зустрічатися із задачею визначення діелектричної проникності ε _с композиційного діелект-рика, що є сумішшю двох або більше компонентів.

Діелектрична проникність складних діелектриків може бути в першому наближенні визначена на основі логарифмічного зако-ну:

(1.35)

де – відносні діелектричні проникності першого і другого компонентів суміші; – об’ємні концентрації першого і дру-гого компонентів суміші.

Сума концентрацій задовольняє умові: або х – константа, що задовольняє умові і харак-теризує шаровий розподіл компонентів.

Рис.1.13. Плоский конденсатор з різними діелектриками (e₁, e₂,..., e _n),

що з’єднані послідовно (а) і паралельно (б).

Для паралельного сполучення діелектриків (х = 1):

(1.36)

Для послідовного сполучення (двошаровий діелектрик (х = –1)):

або (1.37)

Формули (1.36), (1.37) можуть використовуватись в бага-тьох практичних випадках. Встановлено, що для конденсаторного паперу досить добре підходить модель послідовно з'єднаних шарів паперу і повітря.

При хаотичному розподілі компонентів, що спостерігається в технічних діелектриках, наприклад, кераміці, пластмасі, коли маємо:

(1.38)

Слід відмітити, що формула (1.38) придатна для розрахунку не тільки діелектричної проникності, але й магнітної проникності і питомої електропровідності сумішей. У всіх випадках потрібно вважати, що компоненти утворюють тісну фізичну суміш, але хімічно один з одним не реагують.

Рис. 1.14. Характер залежностей діелектричної проникності суміші e _c двох компонентів A, B від їх об’ємного вмісту в суміші: (1 – паралельне з'єднання, 2 – послідовне з'єднання, 3 – змішане з'єднання).

Для спрощення розрахунків за формулою (1.38) може бути використана номограма (рис. 1.15). На трьох її шкалах відкладені e₁/e₂ (для випадку e₁ > e₂), у ₁ (у ₂) і e_с/e₂. Точки на шкалах, що відповідають умові (1.38) лежать на одній прямій, так, що по двох відомих величинах легко знаходиться третя.

Як приклад, на номограмі показано знаходження діелект-ричної проникності e _с для пластмаси, що складається із 20 % наповнювача (у ₁ = 0,2) – порошка рутилу (e₁ = 110) і 80 % (у ₂ = 0,8) зв’язуючого – полістиролу (e₂ = 2,6). Пунктирна пряма, що з’єднує точки e₁/e₂ = 42,4 і у ₁ = 0,2 (у ₂ = 0,8), перетинає третю шкалу в точці e_с/e₂ = 2. Таким чином, e_с = 2·2,6 = 5,2.

Рис.1.15. Номограма розрахунку діелектричної проникності суміші за формулою (1.38).

Діелектрична проникність газів, внаслідок їх низької густини (із-за великих відстаней між молекулами) незначна і близька до одиниці. Зазвичай поляризація газу є електронною чи дипольною, якщо молекули полярні. Діелектрична проникність газу тим вища, чим більший радіус молекули. Зміна числа молекул газу в одиниці об’єму газу n при зміні температури і тиску викликає зміну діелектричної проникності газу. Число молекул N пропорційне тиску і обернено пропорційно абсолютній температурі.

При зміні вологості діелектрична проникність повітря змі-нюється незначно, прямопропорційно зміні вологості. При під-вищеній температурі вплив вологості різко посилюється. Темпера-турна залежність діелектричної проникності характеризується виразом:

(1.39)

Для неполярної рідини

(1.40)

Діелектрична проникність рідин сильно залежить від їх структури. Значення ε неполярних рідин невисокі і близькі до квадрату заломлення світла n ². Діелектрична проникність полярних рідин, які використовуються в якості технічних діелектриків, лежить у межах від 3,5 до 5, що суттєво більше, ніж в неполярних рідин. Так, поляризація рідин, що містять дипольні молекули, визначається одночасно електронною і дипольно-релаксаційною поляризаціями.

Сильнополярні рідини характеризуються високим значен-ням ε із-за їх високої провідності. Температурна залежність ε в дипольних рідинах має більш складний характер, ніж у нейтральних рідинах. Тому ε на частоті 50 Гц для хлорованого дифенілу (соволу) швидко зростає із-за різкого падіння в’язкості рідини, а дипольні молекули встигають орієнтуватись услід за зміною температури. Зменшення ε проходить внаслідок посилення теплового руху молекул, що перешкоджає їх орієнтації в напрямі ліній електричного поля.

Діелектрична проникність твердих діелектриків, в яких можливі всі види поляризацій, має найменше значення, якщо структура матеріалу побудована з нейтральних молекул і володіє електронною поляризацією, тоді ε = n ². Температурна залежність ε визначається зміною числа молекул в одиниці об’єму.

Рис.1.16. Залежність діелектричної проникності від частоти

і від температури для соволу.

Для нейтральної молекули, парафіну, зниження ε очікується при температурі плавлення (рис.1.17).

Рис.1.17. Температурні залежності діелектричної проникності

для парафіну (1), іонного кристалу (2), фарфору (3), целюлози (4).

Величина діелектричної проникності ε є важливою і при розрахунку напруженості електричного поля в багатошарових діелектриках. Найпростіший випадок двошарового плоского конде-нсатора представлено на рис. 1.18. Комбінуючи умову послідов-ного з’єднання шарів маємо:

(1.41)

(1.42)

(1.43)

Графік падіння потенціалу в функції віддалі від електроду Y зображено на рис.1.18 ламаною PQR, а графік значень Е – ламаною KLMNT. Функції tg β₁ і tg β₂ пропорційні значенням Е ₁і Е ₂ відповідно.

Якщо б у просторі між електродами конденсатора Y і Z знаходився тільки один діелектрик, то мали б випадок плоского конденсатора з однорідним полем. В цьому випадку падіння потен-ціалу визначалось би пунктирною лінією PR, а напруженість поля – пунктирною горизонтальною прямою ST і напруженість поля у всьому об’ємі діелектрика була б однаковою, причому β₁ < β₀ < β₂ і Е ₁ < Е < Е ₂.

Рис.1.18. Картина електричного поля в двошаровому діелектрику.

В загальному випадку для багатошарового діелектрика напруженість і -го шару визначиться за формулою:

(1.44)

де U – повна напруга на конденсаторі, а U_i, E_i, h_i, ε _i – відповідно напруга, напруженість, товщина та діелектрична проникність для кожного окремого шару.

При конструюванні і розрахунку багатошарової ізоляції потрібно враховувати, що шари діелектриків з більш високою діелектричною проникністю прагнуть “розвантажитися” і перекласти більшу частину електричної напруги на шари з меншою діелектричною проникністю. Особливо в невигідному положенні є повітряні проміжки всередині ізоляційного шару.

Для одношарового циліндричного конденсатора для точки в діелектрику між електродами, що знаходиться на відстані х, м, від осі конденсатора напруженість Е_х дорівнює:

(1.45)

Таким чином, в циліндричному конденсаторі поле неодно-рідне: найбільша величина напруженості поля має місце в точках діелектрика, безпосередньо прилягаючих до внутрішнього діаметру електроду (x = r ₁):

(1.46)

а найменша – в точках, що прилягають до зовнішнього електроду (x = r ₂). Для проміжних точок графік залежності Е_х = f (х)має вигляд гіперболи.

Якщо ж діелектрик циліндричного конденсатора – багатошаровий (n шарів), то напруженість в і -му шарі на відстані х від осі конденсатора залежить від значень ε _і діелектрич-них проникностей матеріалів шарів і дорівнює:

(1.47)

Як видно з формул (1.42) і (1.47), на відміну від випадку багатошарового плоского конденсатора порядок розміщення мате-ріалів у шарах циліндричного конденсатора впливає на значення напруженості поля в окремих шарах. Для того, щоб отримати найбільш вигідний розподіл напруженостей, тобто отримання най-нижчих Е_і,потрібно розміщувати у внутрішні шари багатошаро-вого циліндричного конденсатора діелектрики з високими значен-нями ε. Це частковий випадок загального правила: в нерівномірно-му полі для зменшення електричного навантаження електроізоляці-йних матеріалів слід у місця з найбільшим електричним зміщенням D =ε₀ε₁ E ₁=ε₀ε₂ E ₂ поміщати матеріали з найбільшим значенням ε. Всі ці положення, як було вказано вище, справедливі для змінного струму.

Для розрахунку електричного поля в багатошаровій ізоля-ції, що працює під постійною напругою у вищевказаних формулах замість значень ε потрібно підставляти значення об’ємної питомої провідності γ матеріалів відповідних шарів.