ІІ рівень

1. Розв’яжіть рівняння

2. У ящику лежить 12 білих кульок і кілька чорних. Скільки чорних кульок у ящику, якщо ймовірність витягнути навмання чорну кульку дорівнює

3. Вершини квадрата зі стороною 8 см належать сфері. Знайдіть площу сфери, якщо відстань від центру сфери до площини квадрату дорівнює 2см.

4. Дослідіть функцію на парність.

5. Розв’яжіть рівняння

6. Через вершину конуса проведено площину під кутом до площини основи. Ця площина перетинає основу по хорді завдовжки см, яку видно з центра основи під кутом . Знайдіть об’єм конуса.

7. Знайдіть невизначений інтеграл

8. Відомо, що Виразіть через і

9. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями і

10. У правильній трикутній піраміді бічне ребро дорівнює і утворює кут із площиною основи. Знайдіть об’єм піраміди.

11. Знайдіть якщо

12. Розв’яжіть нерівність

13. Знайдіть проміжки спадання функції

14. Переріз циліндра площиною, паралельною його вісі, є квадрат що відтинає від кола основи дугу . Знайдіть відстань від осі циліндра до цього перерізу, якщо висота циліндра дорівнює 6 см.

15. Розв’яжіть рівняння

16. Розв’яжіть нерівність

17. На графіку функції знайдіть точку, в якій дотична утворює кут із додатним напрямом осі абсцис.

18. Вершини рівностороннього трикутника зі стороною 3 дм лежать на поверхні кулі, радіус якої дорівнює 2 дм. Знайдіть відстань від центра кулі до площини трикутника.

19. У коробці 15 цукерок із чорного шоколаду і деяка кількість з білого. Скільки в коробці цукерок з білого шоколаду, якщо ймовірність витягнути навмання з коробки цукерку з білого шоколаду менша за .

20. Розв’яжіть рівняння

21. Знайдіть область визначення функції

22. Розв’яжіть рівняння

23. Знайдіть визначений інтеграл

24. Основою прямої призми є ромб з тупим кутом 150⁰. Площа бічної поверхні призми дорівнює 96 см², а площа її повної поверхні – 132 см². Знайдіть висоту призми.

25. Швидкість руху точки задається рівнянням (м/с). Знайдіть рівняння руху , якщо

26. Спростіть вираз

27. Розв’яжіть нерівність

28. Знайдіть точки мінімуму функції

29. У прямій трикутній призмі сторони основи дорівнюють 13см, 14 см і 15 см. Через бічне ребро призми і середню за довжиною висоту основи проведено переріз, площа якого 60 см². Знайдіть об’єм призми.

30. Розв’яжіть рівняння

31. Розв’яжіть нерівність

32. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у точці з абсцисою

33. Дано і Знайдіть модуль вектора

34. На картках записано числа від 1 до 12. Навмання беруть дві з них. Яка ймовірність того, що сума чисел на картках дорівнює 12?

35. Розв’яжіть рівняння

36. Знайдіть область значення функції

37. Для функції знайдіть таку первісну , що

38. У кулі, об’єм якої 36 см³, проведено переріз. Радіус кулі, один з кінців якого належить перерізу, утворює із площиною перерізу кут 45⁰. Знайдіть площу перерізу.

39. Обчисліть

40. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю (м/с). Знайдіть шлях, який пройшло тіло від початку руху до зупинки.

41. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 12 см і 16 см. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 26 см. Знайдіть об’єм піраміди.

42. Спростіть вираз

43. Знайдіть область визначення функції

44. Розв’яжіть рівняння

45. Розв’яжіть нерівність

46. Складіть рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою

47. Хорда основи конуса дорівнює 6 см і стягує дугу 90⁰. Через цю хорду і вершину конуса проведено переріз. Знайдіть його площу, якщо висота конуса дорівнює 4 см.

48. Розв’яжіть рівняння

49. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює см і утворює кут 45⁰ із площиною основи. Знайдіть апофему піраміди.

50. Знайдіть нулі функції

51. Розв’яжіть рівняння

52. Обчисліть

53. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з основою 8 см і бічною стороною 5 см. Через основу цього трикутника проведено переріз, який утворює кут 60⁰ із площиною основи і перетинає бічне ребро. Знайдіть площу цього перерізу.

54. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями і

55. Розв’яжіть нерівність

56. Знайдіть точки максимуму функції

57. Знайдіть область визначення функції

58. Обчисліть

59. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями і

60. Знайдіть критичні точки функції

61. Розв’яжіть рівняння

62. Обчисліть

63. Знайдіть визначений інтеграл dx.

64. Основною прямої призми є ромб з тупим кутом 150⁰. Площа бічно поверхні призми дорівнює 96 см², а площа її повної поверхні – 132 см². Знайдіть висоту призми.

65. Розв’яжіть рівняння

66. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з основою 6 см і бічною стороною 5 см. Бічні грані піраміди, що містять бічні сторони цього рівнобедреного трикутника, перпендикулярні до основи, а третя бічна грань нахилена до площини основи під кутом 60^о. Знайдіть висоту піраміди.

67. Розв’яжіть рівняння

68. Розв’яжіть нерівність .

69. Знайдіть проміжки спадання функції .

70. Переріз циліндра площиною, паралельною його осі, є квадрат, що відтинає від кола основи дугу 90^о. Знайдіть відстань від осі циліндра до перерізу, якщо висота циліндра дорівнює 6 см.

71. Є 6 різних блокнотів і 7 ручок. Скількома способом можна вибрати набір із 3 блокнотів і 2 ручок?

72. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями y = e^x, y = e^3x і x = 1.

Розв’яжіть рівняння 2log₃(x -1)=log₃(4 x +1).

73. Через вершину конуса проведено площину під кутом 45^◦ до площини основи. Ця площина перетинає основу по хорді завдовжки , яку видно з центра основи під кутом 120^◦. Знайдіть об’єм конуса.

74. Розв'яжіть нерівність

75. Кут між векторами і дорівнює 120°. Знайдіть , якщо

76. Розв’яжіть рівняння

77. Основною прямого паралелепіпеда є паралелограм зі сторонами 7 см і 3 см та гострим кутом 30°. Знайдіть об’єм паралелепіпеда, якщо повна поверхня дорівнює 141 см².

78. Скількома способами групу із 8 учнів можна розподілити для участі у двох олімпіадах якщо в олімпіаді з математики бере участь 5 учнів, а в олімпіаді з фізики - 3?

79. З точки А до площини α проведено дві рівні похилі по 4 см кожна. Кут між похилими дорівнює 60^◦, а кут між їхніми проекціями- прямий. Знайдіть відстань від точки А до площини α.

80. Обчисліть

81. В основі прямої призми лежить рівнобедрений трикутник з основою 8 см і бічною стороною 5см. Через основу цього трикутника проведено переріз, який утворює кут із площиною основи і перетинає бічне ребро. Знайдіть площу цього перерізу.

82. Розв’яжіть рівняння .

83. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює см і утворює кут 45° із площиною основи. Знайдіть апофему піраміди.

84. Розв’яжіть рівняння .

85. Для функції знайдіть таку первісну , що .

86. Розв’яжіть рівняння .

87. Хорду, що лежить в основі конуса, з його вершини видно під кутом 60°, а з центра основи – під прямим кутом. Знайдіть площу бічної поверхні конуса, якщо його твірна дорівнює 4 см.

88. Розв’яжіть рівняння cos2 x+ 10cos x- 11=0.

89. Дано (2; -1; 3) і (4; 2; 0). Знайдіть модуль вектора =2 - .

Швидкість руху точки задається рівнянням v(t)=5+2t (м/с). Зайдіть рівняння руху s=s(t), якщо s (3)=30.

90. Точка М знаходиться поза площиною прямокутного трикутника АВС, у якого С=90⁰; АС =8 см; ВС =6 см. Точка М знаходиться на однакових відстанях від вершин трикутника. Знайдіть цю відстань, якщо відстань від точки М до площини трикутника дорівнює 12 см.