Метод Ньютона. Дана система нелинейных уравнений (1)

Дана система нелинейных уравнений (1)

f (x) = 0

x = (x₁, x₂, …x_m )

f = (f₁, f₂, … f_m ) ^T

Алгоритм метода Ньютона

Задают начальное приближение

x ⁽⁰⁾ = (x₁ ⁽⁰⁾, x ₂⁽⁰⁾,…x_m⁽⁰⁾)

Каждое последующее приближение находят, решая систему линейных алгебраических уравнений относительно

∆ x ^(к+1):

f ΄ (x ^(к) ) ∆ x ^{(к + 1)} = -f (x ^(к)) и

полагая затем

x ^(к+1) = x ^(к) + ∆ x ^(к+1),

где

f ΄(x) =

Критерий остановки

║x ^(к+1) – x ^(к) ║ <

Контрольные вопросы

Что называется нормой матрицы? Напишите формулы для ее расчета

Сформулируйте достаточные условия сходимости метода простых итераций

Сформулируйте достаточные условия сходимости метода Ньютона

Какова оценка погрешности и скорость сходимости метода простых итераций

Какова оценка погрешности и скорость сходимости метода Ньютона

В чем состоит метод простой итерации для решения системы нелинейных уравнений?

В чем метод Ньютона превосходит метод простой итерации?

В чем состоят основные трудности, связанные с практическим применением метода Ньютона?

Какое условие окончания итераций применяется на практике?