Общая форма записи модели задачи ЛП

Целевая функция (ЦФ) ,

при ограничениях

Допустимое решение – это совокупность чисел (план) X = (x₁, x₂, …, x_n), удовлетворяющих ограничениям задачи.

Оптимальное решение – это план, при котором ЦФ принимает свое максимальное (минимальное) значение.

Рассмотрим построение математической модели задачи на примере.

Задача 1.1

Организация занимается изготовлением двух моделей сидений (мод.001 и мод.002.) для легковых автомобилей. Анализ производства позволил установить, что сиденья изготавливают из материалов A, B, C и D, запасы которых ограничены. Суточные запасы материала А составляют 240 ед., материала В – 160 ед., материала С – 320 ед. и материала D – 240 ед. На одно сиденье мод.001 расход материала А составляет 8 ед., материала В – 4 ед., материала С – 16 ед. На одно сиденье мод.002 расход материала А – 8 ед., материала В – 8 ед., материала D – 16 ед. От реализации одного сиденья мод.001 будет получена прибыль 40 у.е., мод.002 – 60 у.е.

Перед организацией поставлена цель - получить наибольшую прибыль от производства двух моделей сидений.

Таблица 1.1 Параметры задачи о производстве сидений.
Вид материала	Расход материала, ед.материала/сиденье	Запасы материала, ед./сутки
сиденье мод.001	сиденье мод.002
A
B
C
D

Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого необходимо с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:

1) Что является искомыми величинами задачи?

2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к min) для достижения наилучших результатов?

3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсов задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.

Только после экономического ответа на все эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, т.е. к записи математической модели.

1) Искомые величины являются переменными задачи, которые как правило обозначаются малыми латинскими буквами с индексами, например, однотипные переменные удобно представлять в виде X = (x₁, x₂, …, x_n).

2) Цель решения записывается в виде целевой функции, обозначаемой, например, L(X). Математическая формула ЦФ L(X) отражает способ расчета значений параметра – критерия эффективности задачи.

3) Условия, налагаемые на переменные и ресурсы задачи, записываются в виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений. Левые и правые части ограничений отражают способ получения (расчет или численные значения из условия задачи) значений тех параметров задачи, на которые были наложены соответствующие условия.

В процессе записи математической модели необходимо указывать единицы измерения переменных задачи, целевой функции и всех ограничений.

Построим модель задачи №1.1, используя описанную методику.