Примеры выполнения заданий

Пример 1: Вычислить , если z ₁=2- i, z ₂ = 1+3 i.

Решение: Так как `z₁= 2+ i, то

Пример 2: Вычислить

Решение: Запишем данное число в тригонометрической форме, для этого найдем и .

Тогда

Пример 3: Найти все значения корня

Решение: Запишем данное число в тригонометрической форме, для этого найдем

и .

Следовательно

Пример 4: Изобразить на чертеже область, заданную неравенствами (z = x+iy) |z-2i|£3, £argz £ .

Решение: Область, заданная неравенством |z-2i|£3 представляет собой круг радиуса 3 с центром в точке М(0;2). А область, заданная неравенствами £ argz £ представляет собой бесконечный сектор, ограниченный двумя лучами, исходящими из начала координат. Следовательно, искомая область – есть пересечение двух областей, т. е.

Пример 5: Проверить выполняются ли условия аналитичности функции w= (z+ 2) Rez.

Решение: w= (z+ 2) Rez= (x+iy+ 2) x= (x ² + 2 x) +ixy, следовательно: u=x ² + 2 x, v=xy,

Условия Коши - Римана не выполняются ни в одной точке, следовательно, данная функция нигде не аналитична.

Пример 6: Восстановить аналитическую функцию f (z) по известной действительной u (x,y)= е^х (x×cosy-y×siny) части и значению f (0)=0.

Решение: Проверим, является ли функция u (x,y) гармонической, т. е. проверим выполнение условия .

u’_x (x,y)= е^х (x×cosy-y×siny+cosy), ;

u’_y (x,y)= е^х (- x×siny-y×cosy-siny), .

Данная функция является гармонической, следовательно,

Имеем, что f (z)= е^х (x×cosy-y×siny)+ i × е^х (y×cosy-x×siny)+C. Так как f (0)=0, то С=0. Следовательно, f (z)= е^х (x×cosy-y×siny)+ i × е^х (y×cosy-x×siny).

Пример 7: Вычислить интеграл , где С – отрезок соединяющий точки z= 0 и z= 1 +i.

Решение: zRez= (x+iy) x=x²+ixy тогда u=x², v=xy и согласно формуле (3) будем иметь

так как уравнение отрезка прямой, соединяющего точки z= 0 и z= 1 +i имеет вид у=х, то будем иметь

Пример 8: Вычислить интеграл , где С –верхняя часть окружности | z |=3, а интегрирование ведется от точки z= 3 до точки z= -3.

Решение: Уравнение верхней части окружности | z |=3, где Im z >0 запишем в показательной форме z= 3 e^ij= 3 cosj+i 3 sinj, Im z= 3 sinj, dz= 3 ie^ijdj, 0< j <p. Тогда

Пример 9: Вычислить интеграл

Решение: Внутри круга | z -1|£1,5 лежат точки z= 1 и z= 2, в которых функция терпит разрыв. Окружим точки z= 1 и z= 2

замкнутыми непересекающимися

окружностями С₁ и С₂, лежащими

внутри окружности | z -1|=1,5. По тео-

реме Коши для многосвязной облас-

ти (см.(рис.1) имеем

Применяя к первому интегралу формулу (4) дифференцирования, а ко второму – интегральную формулу Коши (2), получим

Пример 10: Найти все лорановские разложения функции

по степеням (z- 1).

Решение: Функция f (z) имеет две особые точки z ₁ = 2 и z ₂=-2. Имеется три круговых области с центром в точке z ₀=1:

1) круг: | z- 1|<1; 2) кольцо: 1<| z- 1|<3; 3) 3<| z- 1|<¥

Рассмотрим последовательно

все эти области.

1) круг: | z- 1|<1.

Первый способ:

Найдем коэффициенты ряда

Лорана по формуле (3):

Итак, для функции f (z) получили ряд Тейлора

в круге | z- 1|<1.

Второй способ: Представим функцию f (z) в виде

и воспользуемся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии

2) кольцо: 1<| z- 1|<3

Первый способ:

Первый интеграл мы вычислили и он равен если п= 0,1,2,…, и равен 0, если п= -1,-2,-3,…

Второй интеграл по интегральной формуле Ко-

ши будет равен

при п =0,±1,±2,… Тогда будем иметь

Поэтому при 1<| z -1|<3.

Второй способ:

Представим функцию f (z) в виде

и воспользуемся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии

3) 3<| z- 1|<¥ Для бесконечного кольца решим задачу вторым способом:

Представим функцию f (z) в виде

и воспользуемся суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Хотя последний ряд имеет бесконечное число членов, содержащих (z -1) в отрицательной степени, для функции f (z) точка z =1 не является особой. Так как в разложении функции f (z) в окрестности точки z =1 (в круге | z -1|<1) присутствуют только члены (z -1) в положительных степенях. Главная часть отсутствует, поэтому точка z =1 не является особой для функции .

Пример 11: Для функции определить тип особых точек и вычислить вычеты в изолированных особых точках.

Решение: z= 0 – особая точка для данной функции. Разложим функцию по степеням z:

Так как главная часть в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки z= 0 отсутствует, то эта точка является устранимой особой точкой и поэтому вычет в ней равен нулю.

Точка z =¥ является существенно особой точкой для этой функции, так как разложение этой функции в окрестности бесконечно удаленной точки содержит бесконечное число членов главной части ряда Лорана а вычет так же будет равен нулю так как отсутствует коэффициент с _-1.

Пример 12: Для функции определить тип особых точек и вычислить вычеты в изолированных особых точках.

Решение: z= 0 – особая точка для данной функции. Разложим функцию по степеням z:

Так как в главной части в разложении функции в ряд Лорана в окрестности точки z= 0 имеем бесконечное число членов, то эта точка является существенно особой точкой, а вычет в ней равен 1, так как член z ^-1 имеет коэффициент равный 1.

Точка z =¥ является устранимой особой точкой для этой функции, так как разложение этой функции в окрестности бесконечно удаленной точки не содержит главной части ряда Лорана, а вычет будет равен нулю так как отсутствует коэффициент с _-1.

Пример 13: Вычислить интеграл при помощи вычетов.

Решение: z= 0, z =-3/2 – полюсы второго порядка для функции , лежащие внутри окружности | z |=2. Согласно основной теореме о вычетах (см. формулу (7)) имеем: