Комплексные числа

Выражение вида z=x+i × y, где x и y – действительные числа, а i- – символ, который называется мнимой единицей, причем i² =-1, называется комплексным числом.

Иногда комплексным числом называют всевозможные упорядо-ченные пары z= (x,y)действительных чисел, для которых следующим образом введены операции сложения:

z₁+z₂=(x₁+x₂)+i×(y₁+y₂)

и умножения: z₁×z₂=(x₁×x₂-y₁×y₂)+i×(x₁×y₂+x₂×y₁).

Действительные числа x и y называютсядействительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются символами x=Re (z), y=Im (z).

Два комплексных числа z ₁ = x₁+i×y₁ и z₂ = x₂+i×y₂ называются равными в том и только том случае, когда x₁ = x₂ и y₁ = y₂.

Выражение вида z = x+i×y называется алгебраической формой комплексного числа.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами:

а) z ₁+ z ₂ = z ₂+ z ₁ – коммутативность сложения;

б) (z ₁+ z ₂ ) + z ₃= z ₁+ (z ₂ + z ₃ ) - ассоциативность сложения;

в) z ₁ × z ₂ = z ₂ × z ₁ - коммутативность умножения;

г) (z ₁ × z ₂ ) × z ₃ = z ₁ × (z ₂ × z ₃ ) - ассоциативность умножения;

д) z ₁ × (z ₂ + z ₃ ) = z ₁ × z ₂ + z ₁ × z ₃ - закон дистрибутивности.

Выражение ` z = x-i×y называется сопряженным комплексным чис-лом для числа z = x+i×y. Произведение ` z × z=(x-i×y)×(x+i×y)=x²+y² - действительное число.

Если z ₂¹ 0, то операция деления двух комплексных чисел опре-деляется формулой

.

Произведение n равных чисел z называется n – й степенью числа z и обозначается символом z ⁿ.

Обратная операция – извлечение корня – определяется следую-щим образом: число w называется корнем n – й степени из числа z, если w ⁿ = z. Обозначается символом w= . Отметим, что для всякого z ¹ 0 корень имеет n различных значений.

Рассмотрим плоскость декартовых координат xOy и условимся изображать комплексное число z=x+i×y точкой с координатами (x,y). При этом действительные числа будут изображаться точками оси x (которую будем называть действительной осью), чисто мнимые- точками оси y (называемой мнимой осью). Соответствие между множеством всех комплексных чисел и всех точек плоскости взаим-нооднозначно.

Далее, каждой точке (x,y) соответствует вполне определенный вектор - радиус-вектор этой точки, а каждому радиусу-вектору, лежа-щему в плоскости, - вполне определенная точка - его конец (рис.1). Поэтому комплексные числа удобно представлять так же в виде радиусов-векторов на плоскости. Из рис.1 ясен геометрический смысл операций сложения и вычитания комплексных чисел: сумма и разность комплексных чисел z ₁ и z ₂ изображаются соответственно векторами, равными направленным диагоналям параллелограмма, построенного на векторах z ₁ и z ₂.

Рис.1. Изображение комплексных чисел точками и векторами

Наряду с представлением комплексных чисел в декартовых ко-ординатах, полезно иметь их представление в полярных координатах. Для этого совместим полярную ось с положительной полуосью x, а полюс - с началом координат; тогда, если обозначить через r поляр-ный радиус и через j полярный угол точки z (рис.1), то будем иметь

z =x+i×y=r×(Cosj +i× Sinj).

Такая запись комплексного числа называется его тригонометрической формой. Полярный радиус r называется модулем комплекс-ного числа z и обозначается символом ½ z ½, угол j - его аргументом и обозначается символом Argz. В то время как модуль комплексного числа определяется однозначно: ½ z ½= ³ 0 (в данном случае – обозначает арифметический корень из действительного числа, а – множество корней n –й степени из комплексного числа), a аргумент определяется лишь с точностью до любого слагаемого кратного 2p. Из множества значений аргументов для z выделяется главное значение, которое обозначается аrgz. По определению это угол, удовлетворяющий условию -p< j = аrgz £ p. Он может быть определен из условия:

j = аrgz = , если М(х,у) Î I, IU четверти,

j = аrgz = p + , если М(х,у) Î II четверти,

j = аrgz = -p + , если М(х,у) Î III четверти.

Произведение двух комплексных чисел, записанных в тригоно-метрической форме, принимает вид

z₁× z₂ = r₁× r₂ [ (Cosj₁×Cosj₂ –Sinj₁×Sinj₂+i× (Sinj₁×Cosj₂+Sinj₂×Cosj₁)] =

= r₁× r₂ [ Cos (j₁+j₂) +i×Sin (j₁+j₂) ].

Если комплексное число z записано в тригонометрической фор-ме, то при целом положительном n вытекает следующая формула:

- называемая формулой Муавра.

Извлечение корня n - й степени из комплексного числа z, записанного в тригонометрической форме, примет вид

.

Задавая к= 0, 1, 2,…, n - 1, мы получим n различных значений корня, так как увеличение к на единицу влечет за собой увеличение аргумента на (2p¤ n).

Таким образом, извлечение корня n - й степени из комплексного числа z всегда возможно и дает n различных значений. Все значения корня n - й степени расположены на окружности радиуса с цент-ром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.

Показательная функция для любого комплексного числа z =x+iy определяется соотношением:

e ^z = .

Полагая x = 0, y = j, получим классическую формулу Эйлера:

.

С помощью формулы Эйлера любое комплексное число z с мо-дулем r и аргументом j можно записать в следующей показательной форме: .

Функции комплексного переменного

Говорят, что на множестве М точек плоскости Z задана функция w=f (z), если указан закон по которому каждой точке z из М ставится в соответствие точка или совокупность точек w. В первом случае функция f (z) называется однозначной, во втором – многозначной. Если положить z=x+iy и w=u+iv, то задание функции комплексного переменного w=f (z) будет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных: u=u (x,y), v=v (x,y).

Говорят, что существует предел функции f (z) при z®z₀ (обозначается ): если существуют пределы

при этом:

В частности, имеем:

Определение: Функция f (z) называется непрерывной в точке z ₀, если она определена в некоторой окрестности точки z ₀ (включая саму точку z ₀) и

Очевидно, что для непрерывности f (z) в точке z ₀ необходимо и достаточно, чтобы функции и (х,у)и v (х,у) были непрерывны в точке (х₀,у₀). Функция f (z) называется непрерывной в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Будем говорить, что функция f (z) дифференцируема в точке z, если существует предел

Этот предел будем называть производной функции f (z) в точке z.

Условия дифференцируемости функции f (z) в терминах действительных функций и (х,у)и v (х,у) выражает следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f (z)= и (х,у) +i×v (х,у) определена в некоторой окрестности точки z, причем в этой точке функции и (х,у)и v (х,у) дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции f (z) в точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место соотношения:

(*)

(условия Коши - Римана).

Условия Коши – Римана функции, заданной в полярных координатах f (z)= u (r,j) +i×v (r,j), имеют вид , а производная ее вычисляется по формуле Если функция j (х,у) имеет непрерывные частные производные первых двух порядков и удовлетворяет условию , то ее называют гармонической функцией. По любой гармонической функции j (х,у) можно построить аналитическую функцию, действительная (мнимая) часть которой совпадает с заданной функцией. При этом,

если u (х,у) =j (х,у), то

a если v (х,у) =j (х,у), то