![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции f (z), если существует окрестность 0<| z-a |< R этой точки (с исключенной точкой а), в которой f (z) аналитична. Подчеркнем, что здесь речь идет о точках, в окрестности которых функция однозначна.
Различают три типа изолированных особых точек в зависимости от поведения функции f (z) в их окрестности:
1) Точка а называется устранимой особой точкой, если существует конечный предел .
2) Точка а называется полюсом, если f (z) является бесконечно большой при приближении к а, то есть если существует (это означает, что | f (z) |®¥ при z ®¥).
1) Точка а называется существенно особой точкой, если предел не существует.
Теорема 1. Для того, чтобы точка а была устранимой особой точкой функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение функции f (z) в окрестности точки а не содержало главной части.
Теорема 2. Для того, чтобы точка а была полюсом функции f (z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности точки а содержала лишь конечное число членов.
При этом номер старшего отрицательного члена разложения совпадает с порядком полюса.
Теорема 3. Точка а тогда и только тогда является существенно особой дляфункции f (z), когда главная часть лорановского разложения функции f (z) в окрестности точки а содержит бесконечное число членов.
Вычеты
Определение. Вычетом функции f (z) в изолированной особой точке а (обозначается res f (a)) называется число где g достаточно малая окружность | z-a |= r, проходимая в положительном направлении.
Из формул для коэффициентов ряда Лорана при п= -1 непосредственно вытекает, что
(6)
т. е. вычет функции f (z) в особой точке а равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении функции f (z) в окрестности точки а. Отсюда следует, что в устранимой особой точке вычет функции всегда равен нулю.
Нахождение вычета в полюсе порядка п облегчает следующая формула:
(7)
Для полюсов первого порядка формула (7) принимает особенно простой вид:
(8)
Если в окрестности точки а определена как частное двух аналитических в этой точке функций: причем j (а)¹0, а y (z) имеет в а нуль первого порядка (т.е. y (а)=0, а y (a)¢¹0), то формулу (7) можно заменить следующей формулой:
(9)
Теорема Коши (для вычетов). Пусть функция f (z) непрерывна на границе С области D и аналитична внутри этой области всюду, кроме конечного числа особых точек а 1, а 2,…, ап. Тогда, если С обходится
в положительном направлении, то
(10)
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 255 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!