Плоскость

Задача №17

В плоскости достроить недостающие проекции точки и прямой:

S(АВС) É l(l₂); l =?; D(D); D =?

В основе решения задачи лежит свойство принадлежности точки и прямой плоскости

(Модуль №2, стр.2).

l Ì S, значит проходит через две точки этой плоскости 1 и 2.

точка 1 Î АВ, 1₂ Î А₂В₂ Þ 1₁ Î А₁В₁

точка 2 Î АС, 2₂ Î А₂С₂ Þ 2₁ Î А₁С₁

1. Построим горизонтальные проекции точек 1 и 2 (с помощью линий связи) Þ 1₁ и 2₁

2. Через точки 1 и 2 проведем горизонтальную проекцию прямой – l.

Очень важно не перепутать принадлежность точек своим отрезкам.

Как построить точку D?

Заметим, что точка D находится за пределами треугольника, но, тем не менее, принадлежит плоскости S, т.к. любая плоскость безгранична в пространстве, треугольник - это только ее определитель, с помощью которого она задана.

Так с чего начать? Обычно студенты предлагают провести линию связи из точки D₁. Действительно D₁ и D₂ находятся на одной линии связи, Хорошо, провели, а дальше?

Исходя из свойства принадлежности точки плоскости, через точку D(D₁) нужно провести вспомогательную прямую в плоскости. Сколько таких прямых можно провести? Бесчисленное множество, выбрав наиболее рациональный вариант.

Вариант

Вариант

Первый вариант рациональнее, т.к. для вспомогательной прямой нужно строить меньше точек (достаточно построить точку 3, точка А уже есть).

Задача №18

В плоскости достроить недостающие проекции линий:

Г(a || b), l(l₂) Ì Г, l₁ =?, m(m₁) Ì Г, m₂ =?

Принадлежность прямой плоскости, в случае, когда она проходит через две точки этой плоскости, была рассмотрена в задаче № 17. В этой задаче проиллюстрируем принадлежность прямой плоскости, если она проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости.

l₁ =? l || a || b

Где взять эту точку? На l₂ можно взять любую точку и построить ее проекции на П₁ по принадлежности к Г (рис. 18.1). Рациональнее взять точку 3₂ (рис. 18.3).

Рис. 18-1

Через прямую 1-2 строим проекции точки 3

Рис. 18-2

Теперь через точку 3₁ проводим l₁ || а₁ и в₁

Рис. 18-3

Как построить m₂?

Следует отметить, что для построения кривой m₂ нужно взять не менее четырех точек.

Рис. 18-4

Точки 4,6,8 строятся без дополнительных построений, с помощью линий связи.

Рис. 18-5

Для построения точки 5 и 7 проводят дополнительные прямые || а и в.

Рис. 18-6

Находим точки 5₂, 7₂.

Рис. 18-7

Все точки соединить плавной кривой Þ m₂

Рис. 18-8

Задача №20

Дана плоскость L(h Ç f), АВС Ì L, А₁В₁С₁ =?

Как построить А₁В₁С₁, зная свойство принадлежности точки и прямой к плоскости? Треугольник АВС надо рассматривать, как фигуру, состоящую из вершин (точек А,В,С) и сторон (отрезков прямых), т.е. следует применить решение предыдущих задач №17 и №18.

Рис. 20-1

Сторона АВ || h, точка А принадлежит f.

A₂ Î f₂ Þ A₁ Î f_, A₂B₂ || h₂ Þ A₁B₁ || h₁ (Рис. 20-2)

Рис. 20-2

Горизонтальная проекция АС строится по двум точкам: А и 1 = А₂C₂ Ç h₂ Þ 1₁ Þ С₁ (Рис. 20-3)

Рис. 20-3

Задача №21

Задача решается аналогично, чтобы построить фронтальные проекции точек D,F,E, необходимо построить фронтальные проекци любых двух сторон треугольника (например DF и DE), исходя из свойства принадлежности прямой к плоскости. Для чего следует их продлить до пересечения с Ф, т.е. с m₁ и n₁.

Задача №22

Определить угол наклона плоскости S(g) к П₁

А(А₂) Î S. А₁ =? Ða =?

Плоскость S задана g - линией ската, но т.к. положение g в плоскости определяется положением горизонтали этой плоскости, то значит можно однозначно утверждать,что данная плоскость задана двумя пересекающимися прямыми Þ S(g) = S(g Ç h) (Модуль №2, стр. 8)

g ^ h Þ h₂ ^ линиям связи, g₁ ^ h₁, h₂ провести через А₂, А₁ находится по принадлежности

горизонтали

Но как определить угол a?

Угол a между g u g₁ - есть угол наклона S ^Ù П₁ = g ^Ù g

g(g₁,g₂) - прямая общего положения

Для определения угла (a) необходима истинная величина линии ската, которую определим методом прямоугольного треугольника (задача №8)

Угол между g и g₁ = Ða.

Если бы не требовалось определить А₁, то угол можно было бы определить и без построения горизонтали. Достаточно задаться любым отрезком на линии ската.

Задача №23

Определить угол наклона плоскости Ф(а || b) к П₂. Ðb =?

Как определить е - линию наибольшего наклона плоскости Ф к П₂ (е ^ f Þ е₂ ^ f₂)? Задача графически сложная, но легко решается, если ее разбить на три этапа (на три задачи), которые встречались на предыдущих страницах:

1) Построить проекции фронтали f (f₁ f₂)

Построить f(f₁,f₂): f₁ ^ линиям связи (в любом месте f₁ Ç а || в), f₂ по принадлежности плоскости Ф

2) Построить проекции линии наибольшего наклона е(е₁ е₂)

Построить е(е ^ f) Þ е₂ ^ f₂. Построить е₂ можно бесконечное множество.

Выбираем наиболее рациональный вариант и достраиваем е(е₁) Ì Ф (по двум точкам 1 и 3).

3) Определить натуральную величину | е| с помощью прямоугольного треугольника. Угол Ðb = между е – е₂ (Ф ^Ù П₂ = е ^Ù е₂)

е(е₁, е₂) – прямая общего положения

Задача №24

Эта задача решается аналогично, только алгоритм нужно применить относительно П₁.

Задача №25

Окружность k Ì Г(Г₁), A Î k, O - центр окружности.

Построить: k₁ =?, k₂ =?

Плоскость Г занимает горизонтально проецирующее положение. Г₁ = главная проекция, обладающая собирательными свойствами, поэтому k₁ - прямая линия совпадающая с Г₁. Г имеет угол (a) наклона к П₂, поэтому окружность спроецируется на П₂ с искажением, в виде эллипса.

При этом, какое положение займут большая и малая оси эллипса?

Чтобы построить а₂ и в₂, нужно знать значение радиуса окружности (R), т.к. а₁ = 2´R, в₂ = 2´R.

Точка А принадлежит окружности, поэтому соединив точку А с О Þ R. На какой проекции можно замерить значение радиуса?

Нигде! Т.к. ОА - прямая общего положения.

Методом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину радиуса окружности Þ R

а (1,2) - малая ось эллипса

в (3,4) - большая ось эллипса

Эллипс - центрально симметричная замкнутая кривая, следовательно относительно точки О₂ на кривой таких точек как А₂ - четыре.

Теперь плавной кривой соединяем все 8 точек.

Плавной кривой соединить все точки

Задача №26

В заданных плоскостях через точку К провести проекции линий уровня

Г(АВС), К Î Г.

Горизонталь плоскости Г должна пройти через две точки плоскости, начинать построение с фронтальной проекции (задача №4)

K₂ Î h₂ ^ линиям связи

h₂ Ç A₂B₂ = 1₂

h₂ Ç B₂C₂ = 2₂

Через 1₁2₁ Þ h₁, Построить К₁ Î h

Построение фронтали f (f₁ f₂) начинают с горизонтальной проекции: через точку К₁ проводят f₁ ^ линиям связи.

f₁ Ç А₁С₁ = 3₁ Þ 3₂; через 3₂ и К₂ Þ f₂.

Задача №27

Y(Y₂), К Î Y

Если построение горизонтали начинать с фронтальной проекции ^ линиям связи, как в предыдущей задаче, то h₂ пересечет Y, т.е. не будет принадлежать Y. Как быть? Попробуйте мысленно вращать h || П₁, пока она не совместится с Y₂, это произойдет только тогда, когда горизонталь займет положение фронтально проецирующей прямой.

Y - фронтально проецирующая плоскость.

h ^ П₂ Þ h₂ - точка, h₁ = линиями связи.

f₁ ^ линии связи, f₂ = Y₂

Задача №30

Через точку М провести прямую m(m₁ m₂) параллельную плоскостям S(АВС) и Г(Г₁).

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Если плоскость занимает проецирующее положение (Г₁), то проекция прямой параллельна ее главной проекции, т.е. Г₁.

Алгоритм построения.

1. Проведем m₁ || Г₁ через точку М₁, но прямая m || и DАВС, поэтому проведем прямую С₁1₁ || m₁ в DА₁В₁С₁.

2. На П₂ построим С₂1₂ и параллельно этой прямой через точку М₂ проведем m₂: m₂ || C₂1₂

Задача №31

Достроить фронтальную проекцию плоскости Г(DEF), если Г(DEF) || Ф(АВС).

Как построить D₂E₂F₂, зная положение о взаимно параллельных плоскостях (Модуль №2, стр.10)? Треугольник DEF надо рассматривать, как фигуру, состоящую из пересекающихся прямых (сторон), чтобы применить решение предыдущей задачи №30. Для определения точек E₂ и F₂ необходимо построить параллельно DАВС две стороны DDEF.

Построить DF(D₂F₂) || DАВС, для чего провести А₁1₁ || D₁F₁

Построить DЕ(D₂F₂) || DАВС, для чего провести C₁2₁ || D­₁E₁

Достроить фронтальную проекцию DDЕF

Очень часто студенты путают построение треугольника, параллельного заданному, с построением треугольника, принадлежащего заданному.

DDЕF || DАВС

DDЕF принадлежит Г(АВС)