![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Основные теоретические сведения
1. Пусть даны два непустых множества X и Y. Если каждому элементу x из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент у из Y, то говорят, то говорят, что на множестве Х задана функция (или отображение) со множеством значений Y. Это можно записать так: или
, где множество Х называется областью определения функции, а множество Y, состоящее из всех чисел вида
,
множеством значений функции.
2. К основным элементарным функциям относятся:
1) степенная функция y= , где
;
2) показательная функция y=ax, где ;
3) логарифмическая функция y= , где
;
4) тригонометрические функции:
,
;
5) обратные тригонометрические функции: y =arccos x, y =arctg x, y =arcctg x.
3. Число А называется пределом функции f (x) при , если для любого
найдется
такое, что
при
Это записывают так: .
Практическое вычисление пределов основывается на следующих свойствах.
Если существуют и
, то
1) ;
2) ;
3) (при
)
4. Функция f (x) (F (x)) называется бесконечно малой (бесконечно большой) при , если
.
5. Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводят к неопределенностям вида . Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются: 1) сокращение на множитель, создающий неопределенность; 2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при
); 3) использование двух замечательных пределов:
Отметим также, что
Пример 1. Найти
Решение. Подставляя вместо x его предельное значение, равное 3, получаем в числителе бесконечно большую, а в знаменателе – бесконечно малую функцию:
Поэтому
Пример 2. Найти .
Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности вида . Так как под знаком предела стоит отношение двух многочленов, то разделим числитель и знаменатель на старшую степень аргумента, т.е. на x 4. В результате получим
поскольку при функции 5/ x 3 и 7/ x 4 являются бесконечно малыми.
Пример3. Найти
Решение. Подстановка x = приводит к неопределенности
. Произведем замену переменных:
Тогда
Здесь использован второй замечательный предел.
Дата публикования: 2015-04-10; Прочитано: 193 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!