Напряжения. Характеристики напряженного состояния

Напряжение является мерой внутренних сил, возникающих в теле под влиянием внешних воздействий (нагрузок, изменения температуры и др.). Для изучения напряжений в произвольной точке тела А в окрестности этой точки мысленно проводят сечение и отбрасывают одну из половин тела. Действие отброшенной половины на другую заменяют внутренними силами.

Рис. 2.2. Схема к определению поверхностных сил и напряжений.

Так, например, на элементарную поверхность площадью dS (рис.2.2) действует внутренняя поверхностная сила T_ndS. При этом величину T_n называют напряжением. Напряжение T_n зависит только от положения точки А и направления нормали n, то есть каждому направлению n соответствует свое напряжение T_n.

Соответствие напряжений T_n любому направлению n устанавливается на основе принципа равновесия с помощью тензора напряжений. s_ij (i = 1, 2. 3; j = 1, 2, 3).

(2.11)

Компоненты s_x,s_y,s_z характеризуют нормальные напряжения на площадках, перпендикулярных осям X,Y,Z, а все остальные компоненты – касательные напряжения (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Схема напряжений на площадках, перпендикулярных осям X, Y, Z

Из условий равновесия элементарного параллелепипеда с длинами ребер dx, dy, dz (рис. 2.3) (а именно из условий равенства нулю моментов сил относительно осей X, Y, Z) следует, что

(2.12)

Таким образом, напряженное состояние в точке может быть полностью охарактеризовано всего шестью компонентами.

Так же, как и для тензора деформаций, компоненты тензора напряжений преобразуются при повороте системы координат с помощью соотношений, линейных относительно направляющих косинусов. По аналогии с деформированным состоянием имеется такое положение системы координат, при котором вдоль одной из осей нормальное напряжение максимально, а вдоль другой - минимально, причем касательные напряжения на площадках, перпендикулярных этим осям, равны нулю. Эти направления называют главными.

Главными называют и напряжения вдоль главных направлений: s₁, s₂, s_3; s₁ всегда обозначает наибольшее нормальное напряжение, а s₃ - наименьшее.

Наибольшее касательное напряжение лежит в плоскости, нормаль к которой делит угол между минимальным и максимальным нормальными напряжениями пополам, и равно

. (2.13)

Три инварианта I₁, I₂, I₃ определяют главные направления тензора напряжений и сами находятся из условия равенства нулю касательных напряжений при повороте системы координат [19].

Сумму нормальных напряжений называют первым инвариантом I₁ тензора напряжений

(2.14)

Среднее значение трех нормальных напряжений называют гидростатическим давлением

. (2.15)

Гидростатическому давлению соответствует тензор напряжений, нормальные компоненты которого равны s₀, а касательные равны нулю. Поскольку гидростатическое давление не вызывает в металле пластических деформаций, его исключают из системы напряжений. Оставшуюся часть тензора называют девиатором напряжений S_s,(i = 1, 2, 3)

, (2.16)

где .

Кроме I₁ существует еще два инварианта (I₂ и I₃). Второй инвариант определяется следующим выражением [19]

(2.17)

Величины, пропорциональные корню квадратному из второго инварианта девиатора напряжений, называют интенсивностью касательных напряжений t_I и интенсивностью нормальных напряжений s_i:

, (2.18)

2.1.3. Механические характеристики конструкционных материалов при растяжении. Условие пластичности.

Экспериментальные исследования механических свойств материала при одноосном растяжении обычно обрабатывают в виде графиков зависимости напряжения от деформации [19]. Чаще всего испытания проводят при «комнатной» температуре, т.е. при температуре q = 20 °С (или Т=293 К) и при постоянной и достаточно малой скорости деформации (). При этом силу Р, растягивающую образец, относят к первоначальной площади поперечного сечения F₀, а удлинение образца Dl – к первоначальной расчетной длине образца l₀:

(2.19)

т.е. не учитывают изменение площади поперечного сечения образца и предполагают равномерное деформирование образца по его длине.

Рис.2.4. Условная диаграмма растяжения

Условный предел прочности s_b определяется как отношение максимальной силы P_max к первоначальной площади поперечного сечения образца:

(2.20)

Для определения действительного предела прочности S_b максимальную силу P_max необходимо относить к действительной площади перечного сечения образца. Поскольку длина образца после деформации , а площадь поперечного сечения равна F, то согласно постоянству объема до и после деформации:

,

откуда

и . (2.21)

Деформацию различают упругую, исчезающую после снятия вызвавшей ее нагрузки, и пластическую, т.е. остаточную деформацию без макроскопических нарушений сплошности материала, образовавшуюся в результате воздействия силовых факторов.

Между напряжениями и деформациями в области упругости соблюдается закон Гука:

, (2.22)

где E – модуль упругости при растяжении (модуль Юнга).

Наибольшее напряжение, при снятии которого остаточные деформации не превышают некоторой заданной малой величины (обычно менее 0,2%) называют пределом упругости s_y.

Если за участком пропорциональности напряжения и деформации следует площадка текучести, соответствующая увеличению деформации при постоянном напряжении (рис. 2.4), то это напряжение называют пределом текучести s_Т. При отсутствии таковой площадки пределом текучести считают напряжение, соответствующее некоторому установленному небольшому уровню деформации (например, 0,2%)- s_0,2.

Область справедливости закона Гука устанавливается пределом пропорциональности s_пц. Поскольку пропорциональность напряжения деформации обычно выполняется во всей области упругости, при практических расчетах предел пропорциональности принимают равным пределу упругости (или меньше).

Для использования диаграмм растяжения при других, более сложных схемах деформирования напряжение заменяют интенсивностью напряжений s_I, а деформацию - интенсивностью деформаций .

Существует несколько условий, характеризующих переход от упругих деформаций к пластическим. Наибольшее применение нашло условие пластичности, называемое условием Мизеса.

Согласно условию пластичности Мизеса пластические деформации происходят, когда значение второго инварианта девиатора напряжений достигает некоторой постоянной (для данных условий деформирования) величины

(2.23)

Условие пластичности Мизеса может быть записано в виде:

(2.24)

Скалярная величина t_Т характеризует механические свойства материала в данных конкретных условиях деформирования и называется пределом текучести на сдвиг.

Для растяжения, сжатия и многих других схем деформирования применяют также интенсивность нормальных напряжений

.

При этом условие пластичности Мизеса примет вид [19]

. (2.25)