Векторная алгебра 2 страница

.

Ответ: 20.

Ответ: 20

30. B 14 № 99568. Семья со­сто­ит из мужа, жены и их до­че­ри сту­дент­ки. Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%. Сколь­ко про­цен­тов от об­ще­го до­хо­да семьи со­став­ля­ет зар­пла­та жены?

Ре­ше­ние.

Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть зар­пла­та мужа со­став­ля­ет 67% до­хо­да семьи. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%, то есть 2/3 сти­пен­дии со­став­ля­ют 4% до­хо­да семьи, а вся сти­пен­дия до­че­ри со­став­ля­ет 6% до­хо­да семьи. Таким об­ра­зом, доход жены со­став­ля­ет 100% − 67% − 6% = 27% до­хо­да семьи.

Ответ: 27.

Ответ: 27

31. B 15 № 77434. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Из урав­не­ния най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

На от­рез­ке [−2; 0] функ­ция убы­ва­ет, по­это­му она до­сти­га­ет сво­е­го наи­боль­ше­го зна­че­ния в точке x = −2. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

Ответ: 12.

Ответ: 12

32. B 15 № 125135. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

.

Ответ: 113.

Ответ: 113

33. B 15 № 128053. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеем мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

Ответ: 20.

Ответ: 20

B 15 № 70937.

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка ми­ни­му­ма .

Ответ: 74.

Ответ: 74

35. B 15 № 77482. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние: .

Ответ: 0.

Ответ: 0

36. B 15 № 124265. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: −6.

Ответ: -6

-6

37. B 15 № 77455. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

.

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: 4.

Ответ: 4

38. B 15 № 26703. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­ден­ная про­из­вод­ная не­от­ри­ца­тель­на на за­дан­ном от­рез­ке, за­дан­ная функ­ция воз­рас­та­ет на нем, по­это­му наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 6.

Ответ: 6

39. B 15 № 77471. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма .

Ответ: −4.

Ответ: -4

-4

40. B 15 № 503318. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­ден­ная про­из­вод­ная не­по­ло­жи­тель­на на за­дан­ном от­рез­ке, за­дан­ная функ­ция убы­ва­ет на нем, по­это­му наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 26.

Ответ: 26

41. C 1 № 504240. а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) Левая часть урав­не­ния опре­де­ле­на при то есть при Чис­ли­тель дроби дол­жен быть равен

Серию нужно от­бро­сить. По­лу­ча­ем ответ:

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке

Ответ: а) б)

42. C 1 № 506074. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние.

а) Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Урав­не­ние ре­ше­ний не имеет. Итак, общим ре­ше­ни­ем за­дан­но­го урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа вида

б)

Ответ: а) б)

43. C 1 № 506014. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние.

а) Огра­ни­че­ния на

Ясно, что по опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма (ведь это будет глав­ным «ин­стру­мен­том» при ре­ше­нии дан­но­го урав­не­ния), по­это­му при на­хож­де­нии огра­ни­че­ний на нам пока что до­ста­точ­но иметь в виду всего лишь си­сте­му

Од­на­ко, среди ис­ко­мых ре­ше­ний этой со­во­куп­но­сти урав­не­ний нет зна­че­ний при ко­то­рых их ко­си­нус об­ра­тил­ся бы в нуль. Дело в том, что, когда ко­си­нус не­ко­то­ро­го ар­гу­мен­та об­ра­ща­ет­ся в нуль, его синус либо равен еди­ни­це, либо равен минус еди­ни­це. А огра­ни­че­ния на с уче­том об­ла­сти опре­де­ле­ния ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции в дан­ном слу­чае не поз­во­ля­ют си­ну­су иметь ни по­ло­жи­тель­ный знак, ни быть рав­ным еди­ни­це. Сле­до­ва­тель­но, имеет место:

б) Ясно, что в про­ме­жу­ток по­па­да­ет лишь один ко­рень:

Ответ: а) б)

44. C 1 № 505616. Ре­ши­те урав­не­ние a)

б) Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние.

a)

Серия кор­ней со­дер­жит­ся в серии кор­ней

б) Ясно, что в за­дан­ный про­ме­жу­ток по­па­да­ют корни: Кроме того, будет еще один ко­рень

Ответ: а) б)

45. C 1 № 505640. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние.

а)

б) Вы­бор­ка кор­ней. Будем ис­кать стро­го по­ло­жи­тель­ные корни.

Из серии

При при Даль­ней­шие по­ис­ки кор­ней из дан­ной серии смыс­ла не имеют.

Из серии

При (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

При (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

При Даль­ней­шие по­ис­ки кор­ней из дан­ной серии смыс­ла не имеют.

Итак,

Ответ: а) б)

46. C 1 № 484544. Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние.

Про­из­ве­де­ние двух вы­ра­же­ний равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю, а дру­гое при этом не те­ря­ет смыс­ла:

По­сколь­ку , то . По­это­му

Ответ: .

47. C 1 № 505386. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

Сде­ла­ем за­ме­ну

б) При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни, ле­жа­щие на от­рез­ке

Ответ: а) б)

48. C 1 № 502053. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ре­ше­ние.

а) За­ме­тим, что урав­не­ние опре­де­ле­но при любом За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

Зна­чит, либо от­ку­да или либо , от­ку­да или

б) По­сколь­ку от­рез­ку при­над­ле­жат корни и

Ответ: а) б)

49. C 1 № 484550. Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пер­вое урав­не­ние. Из не­ра­вен­ства по­лу­ча­ем .

Ра­вен­ство нулю может до­сти­гать­ся в одном из двух слу­ча­ев.

Пер­вый слу­чай. тогда или Если , то ; если , то Из вто­ро­го урав­не­ния по­лу­ча­ем , от­ку­да или . При в пер­вом урав­не­нии Зна­чит, пер­вое ре­ше­ние си­сте­мы

Вто­рой слу­чай. Если те­перь . Тогда , и по­это­му из пер­во­го урав­не­ния по­лу­ча­ем: .

Учтем, что . Тогда . Из всех ре­ше­ний урав­не­ния этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ет толь­ко . При этом и, из вто­ро­го урав­не­ния по­лу­ча­ем: . Из всех ре­ше­ний этого урав­не­ния ин­тер­ва­лу при­над­ле­жит толь­ко . Зна­чит, вто­рое ре­ше­ние си­сте­мы

Ответ:

50. C 1 № 505820. а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Най­ди­те все корни на про­ме­жут­ке

Ре­ше­ние.

а) Най­дем огра­ни­че­ния на

Пре­об­ра­зу­ем левую часть урав­не­ния:

Итак, Для раз­ре­шен­ных зна­че­ний далее будем иметь: