Атом водорода в квантовой механике

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не⁺) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия U (r) взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Zе (для атома водорода Z = 1),

U (r) = - , (34.11)

где r — расстояние между электроном и ядром. Графически функция U (r) изображена жирной кривой на рис.34.1. U (r) с уменьшением r при приближении электрона к ядру неограниченно убывает. Рис.34.1.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера:

ΔΨ + (Е + )Ψ = 0, (34.12)

где m — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл.

1. Энергия. Такие уравнения имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции Ψ, только при собственных значениях энергии

Е = - (п =1,2,3…) (34.13)

т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е _1, Е _2,, Е ₃ — показаны на рис. в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е ₁, отвечающий минимальной возможной энергии, основной, все остальные (Е_n>Е ₁, п= 2, 3,...) — возбужденные. При Е <0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа п энергетические уровни располагаются теснее и при п=∞ Е_∞= 0. При Е >0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е> 0 (заштрихована на рис.34.1) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна

Е_i = -Е ₁ = =13,55 эВ. (34.14)

Выражение совпадает с формулой, полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.