Уравнение бегущей волны

Бегущими волнами называются воны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Это вектор для упругих волн называется вектором Умова . Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии переносимой волной за единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно распространению волны.

Плотность потока энергии , где V - объем.

, (22.3)

где ρ – плотность среды.

Для вывода уравнения бегущей волны – зависимости смещения колеблющейся частицы от координат x и времени t – рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический характер, а ось х совпадает с распространением волны. Волновые поверхности перпендикулярны оси х, а также все точки волновой поверхности перпендикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение x будет зависеть только от x и t.

На рис.22.1 рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся от источника колебаний на расстоянии х. Если колебания точек лежащих в плоскости х=0, описывается функцией , то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на τ, так как для прохождения волной расстояния х требуется время , где υ - скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид:

, (22.4)

где x(x,t) - является периодической функцией времени и координаты;

x / υ – время, когда начала колебаться точка В.

Уравнение (22.4) есть уравнение бегущей волны. Если же плоская волна распространяется в противоположном направлении от источника колебаний уравнение представлено в виде:

. (22.5)

В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид.

, (22.6)

где А = const амплитуда волны, ω – циклическая частота волны, φ ₀ – начальная фаза колебаний, определяемая в общем случае выбором начала отсчета x и t, – фаза плоской волны.

Для характеристики волн используют волновое число

. (22.7)

Учитывая (22.7) уравнение (22.6.) можно записать в виде:

. (22.8)

Уравнение распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (22.8) только знаком перед коэффициентом kx.