Давление под искривленной поверхностью жидкости

Если поверхность жидкости не плоская, а искривленная, то она оказывает на жидкость избыточное (добавочное) давление. Это давление, обусловленное силами поверхностного натяжения, для выпуклой поверхности положительно, а для вогнутой поверхности – отрицательно.

Для расчета избыточного давления предположим, что свободная поверхность жидкости имеет форму сферы радиуса R (Рис.10.3),от которой отсечен шаровой сегмент, опирающийся на окружность радиуса r=R sin α.

Рис.10.3. На каждый бесконечно малый элемент длины Δ l этого контура действует сила поверхностного натяжения Δ F = σ Δ l, касательная к поверхности сферы. Разложив Δ F на два компонента (Δ F ₁ и Δ F ₂), видим, что геометрическая сумма сил Δ F₂ равна нулю, так как эти силы на противоположных сторонах контура направлены в обратные стороны и взаимно уравновешиваются. Поэтому равнодействующая сил поверхностного натяжения, действующих на вырезанный сегмент, направлена перпендикулярно плоскости сечения внутрь жидкости и равна алгебраической сумме составляющих Δ F ₁:

F=∑ Δ F ₁= ∑ Δ F sin α = ∑σ Δ l r/R= ∑ Δ l = σr/R 2πr.

Разделив эту силу на площадь основания сегмента πr ², вычислим избыточное (добавочное) давление на жидкость, создаваемое силами поверхностного натяжения и обусловленное кривизной поверхности:

Δ р =F/S= 2 σ πr ²/ R πr ²=2 σ / R. (10.4)

Если поверхность жидкости вогнутая, то можно доказать, что результирующая сила поверхностного натяжения направлена из жидкости и равна

Δ р= -2 σ/R.

Следовательно, давление внутри жидкости под вогнутой поверхностью меньше, чем в газе, на величину Δ р.

Формулы являются частным случаем формулы Лапласа, определяющей избыточное давление для произвольной поверхности жидкости двоякой кривизны:

Δ р =σ(1/ R ₁+1/ R ₂), (10.5)

где R ₁ и R ₂ — радиусы кривизны двух любых взаимно-перпендикулярных нормальных сечений поверхности жидкости в данной точке. Радиус кривизны положителен, если центр кривизны соответствующего сечения находится внутри жидкости, и отрицателен, если центр кривизны находится вне жидкости.

Для сферической искривленной поверхности (R ₁= R ₂= R) выражение (10.5) переходит в записанное ранее (10.4), для цилиндрической (R ₁= R и R ₂=∞) - избыточное давление

Δ p = σ/R.

Для плоской поверхности (R ₁= R ₂=∞) силы поверхностного натяжения избыточного давления не создают.