Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим твердое тело, которое враща­ется вокруг неподвижной оси. Тогда от­дельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры ко­торых лежат на оси вращения. Пусть не­которая точка движется по окружности радиуса R (рис.1.6). Ее положение через промежуток времени Δ t зададим углом Δ . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы.

Рассмотрим твердое тело, которое враща­ется вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис.1.6). Ее положение через промежуток времени Δ t зададим углом Δ . Элементарные (бесконечно малые) углы поворота рассматривают как векторы. Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в на­правлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта (рис.1.6). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или акси­альными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они мо­гут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется вектор­ная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

.

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор (рис.1.7). Размерность угловой скорости - радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки (см. рис.1.6)

υ = ωR.

В векторном виде формулу для линей­ной скорости можно написать как вектор­ное произведение:

.

Если ω = const, то вращение равномер­ное и его можно характеризовать перио­дом вращения T - временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2π. Так как промежутку времени Δ t = T соответствует Δ φ = 2 π, то ω = 2 π/T откуда

T = 2 π/ω.

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называет­ся частотой вращения:

n = 1 /T = ω/ (2 π),

откуда ω = 2 πn.

Угловым ускорением называется век­торная величина, равная первой производ­ной угловой скорости по времени:

.

Размерность углового ускорения - радиан за секунду в квадрате (рад/с²). При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой ско­рости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору , при замедленном - противонаправлен ему.

Тангенциальная составляющая ускорения a_τ = , = ωR и

a_τ = R = Rε.

Нормальная составляющая ускорения

a_n = = ω ² R.

Таким образом, связь между линейны­ми (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная ско­рость u, тангенциальное ускорение a_τ, нор­мальное ускорение a_n)и угловыми величи­нами (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается сле­дующими формулами:

s = Rφ, u= Rω, a_τ = Rε, a_n = ω ² R.

В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε = const)

ω = ω ₀ εt, φ = ω ₀ t εt ² / 2,

где ω ₀- начальная угловая скорость.
ГЛАВА 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ