Закон сохранения импульса. Центр масс

Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокуп­ность материальных точек (тел), рассмат­риваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодей­ствия между материальными точками ме­ханической системы называются внутрен­ними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механиче­скую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направле­ны, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m ₁, m ₂,..., m_n и , ,..., . Пусть , ,..., - равнодействующие внутренних сил, действующих на каждое из этих тел, a , ,..., - равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

(m ₁ ) = + ,

(m ₂ ) = + ,

(m_n ) = + .

Складывая почленно эти уравнения, получим

(m ₁ + m ₂ +…+ m_n ) = + +… + + + +…+ .

Но так как геометрическая сумма внутрен­них сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

(m ₁ + m ₂ +… + m_n ) = + +…+ ,

или

= + +…+ , (2.18)

где = - импульс системы. Таким образом, производная по времени от им­пульса механической системы равна гео­метрической сумме внешних сил, действу­ющих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

= = 0,

т. е.

= = const. (2.19)

Это выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения импульса справед­лив не только в классической физике, хотя он и получен как следствие законов Ньютона. Эксперименты доказывают, что он выполняется и для замкнутых систем микрочастиц (они подчиняются законам квантовой механики). Этот закон носит универсальный характер, т. е. закон со­хранения импульса - фундаментальный закон природы.

Закон сохранения импульса представляет собой один из фундаментальных законов природы и проявляется в целом ряде явлений. В частности, он лежит в основе реактивного движения, проявляется в процессе соударения тел.

Этот закон является следствием определенного свойства сим­метрии пространства - его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются, иными словами, не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Отметим, что согласно (2.18), импульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю.

В механике Галилея - Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы может быть выражен через ско­рость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой характеризует распре­деление массы этой системы. Ее радиус-вектор равен

, (2.20)

где m_i, и - соответственно масса и радиус-вектор i -й материальной точки; n - число материальных точек в системе; m = - масса системы.

Скорость центра масс

.

Учитывая, что = , a есть импульс системы, можно написать

, (2.21)

т. е. импульс системы равен произведе­нию массы системы на скорость ее цент­ра масс.

Подставив выражение (2.21) в уравне­ние (2.18), получим

m = + +…+ , (2.22)

т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредото­чена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему. Выражение (2.22) представляет собой закон движения центра масс.

В соответствии с (2.21) из закона со­хранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остает­ся неподвижным.