Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Функция двух случайных аргументов



Если каждой паре возможных случайных величин Х и соответствует одно возможное значение случайной величины то называют функцией двух случайных аргументов Х и и пишут

.

Если Х и дискретные независимые случайные величины, то для нахождения распределения функции , надо найти все возможные значе­ния , для чего достаточно для каждого возможного значения Х, равного , и каждого возможного значения равного , вычислить значение равное . Вероятности найденных возможных значений равны произведениям вероятностей и .

Пример 10.6. Дискретные независимые случайные величины Х и заданы распределениями:

Х –2 –1    
Р 0,3 0,1 0,5 0,1
Y      
Р 0,4 0,1 0,5

Найти распределения случайных величин: а) б) в) г)

Решение. Для того чтобы составить указанные распределения величины надо найти все возможные значения и их вероятности. Все вычисления поместим в таблицу

Х 2
–2   –1 –5 –2 –2 0,3 · 0,4 = 0,12
–2     –6 –4 –8 0,3 · 0,1 = 0,03
–2     –7 –6 –18 0,3 · 0,5 = 0,15
–1     –3 –1 –1 0,1 · 0,4 = 0,04
–1     –4 –2 –4 0,1 · 0,1 = 0,01
–1     –5 –3 –9 0,1 · 0,5 = 0,05
            0,5 · 0,4 = 0,20
            0,5 · 0,1 = 0,05
            0,5 · 0,5 = 0,25
            0,1 · 0,4 = 0,04
            0,1 · 0,1 = 0,01
            0,1 · 0,5 = 0,05
            1,00

Объединив одинаковые значения и расположив их в порядке возрастания, получим следующие распределения:

а)

–1              
0,12 0,07 0,16 0,05 0,20 0,09 0,26 0,05

б)

–7 –6 –5 –4 –3          
0,15 0,03 0,17 0,01 0,04 0,25 0,05 0,25 0,01 0,04

в)

–6 –4 –3 –2 –1            
0,15 0,03 0,05 0,13 0,04 0,20 0,04 0,05 0,01 0,25 0,05

г)

–18 –9 –8 –4 –2 –1            
0,15 0,05 0,03 0,01 0,12 0,04 0,2 0,04 0,05 0,01 0,25 0,05

Если Х и непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределения суммы (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале одной формулой) может быть найдена по формуле

либо по равносильной формуле

где и — плотности распределения аргументов.

Если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения величины находят по формуле

либо по равносильной формуле

В том случае, когда обе плотности и заданы на конечных интервалах, для отыскания плотности величины целесообразно сначала найти функцию распределения , а затем продифференцировать ее по

.

Если Х и — независимые случайные величины, заданные соответству­ющими плотностями распределения и , то вероятность попадания случайной точки в область равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распределения

Пример 10.7. Независимые нормально распределенные случайные величины Х и заданы плотностями распределений , . Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины

Решение. Используем формулу Тогда

Ответ: .

Пример 10.8. Заданы плотности распределения независимых равномерно распределенных случайных величин Х и в интервале (0; 2), вне этого интервала , в интервале (0; 3), вне этого интервала . Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Построить график распределения .

Решение. По условию, возможные значения Х определяются неравенством , — неравенством . Отсюда следует, что возможные случайные точки расположены в прямоугольнике ОАВС (рис. 10.1).

Рис. 10.1

Неравенству удовлетворяют те точки плоскости которые лежат ниже прямой если же брать только возможные значения х и у, то неравенство выполняется только для точек, лежащих в прямоугольнике ОАВС ниже прямой С другой стороны, так как величины Х и независимы, то

где — величина той части площади прямоугольника ОАВС, которая лежит ниже прямой Величина этой площади зависит от значения

Если то т.е.

Если , то

Если , то

.

Если , то

Если , то

Итак, искомая функция распределения имеет вид

Найдем плотность распределения

Построим график этой функции (рис. 10.2)

 
 

Рис. 10.2





Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 3832 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.011 с)...