Задачи для самостоятельного решения. 8.54. Определить закон распределения случайной величины Х, если ее плотность распределения вероятностей задана функцией

8.54. Определить закон распределения случайной величины Х, если ее плотность распределения вероятностей задана функцией

.

Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения случайной величины Х.

Ответ: .

8.55. Независимые случайные величины Х и Y распределены нормально, причем , , , . Найти плотность распределения вероятностей и функцию распределения их суммы.

Ответ: ; .

8.56. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с , . Найти: а) ; б) .

Ответ: а) 0,1359; б) 0,6827.

8.57. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540 г. Известно, что 5 % коробок имеет массу, меньшую 500 г. Каков процент коробок, масса которых: а) менее 470 г; б) от 500 до 550 г; в) более 550 г; г) отличается от средней не более, чем на 30 г (по абсолютной величине)?

Ответ: а) б)

в) г)

8.58. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания Х в интервал равна 0,09. Чему равна вероятность попадания Х в интервал: а) ; б) при ?

Ответ: а) б) .

8.59. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с параметрами а = 375 г; г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет: а) от 300 до 425 г; б) не более 450 г; в) больше 300 г.

Ответ: а) 0,9759; б) 0,9987; в) 0,9987.

8.60. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с а = 0, . Что больше

или ?

Ответ:

8.61. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических погрешностей. Случайные погрешности взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с погрешностью, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.

Ответ:

8.62. Случайная величина Х — ошибки измерений — распределена нормально. Найти вероятность того, что Х примет значение между – и (предполагается, что систематические погрешности отсутствуют).

Ответ:

8.63. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически, их средняя масса равна 1,06 кг. Найти стандартное отклонение, если 5 % коробок имеют массу меньше 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

Ответ: .

8.64. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайные величины Х и (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы) независимы и распределены нормально со средними квадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и 4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю. Найти: а) вероятность попадания в мост одной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушения моста достаточно одного попадания.

Ответ: а) б)

8.65. На рынок поступила крупная партия говядины. Предполагается, что вес туш — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием кг и средним квадратическим отклонением кг. Определите вероятность того, что вес случайно отобранной туши: а) окажется больше 1250 кг; б) окажется меньше 850 кг; в) будет находиться между 800 и 1300 кг; г) отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50 кг.

Ответ: а) 0,02275; б) 0,25143; в) 0,83144; г) 0,2586.

8.66. При условии задачи 8.65 с вероятностью 0,899 определите границы, в которых будет находиться вес случайно отобранной туши.

Ответ: 704; 1196.

8.67. Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 11,2 % и средним квадратическим отклонением 0,6 %. Производителям корма необходимо, чтобы в 99 % продаваемого корма доля протеина составляла не менее %, но не более %. Найдите и .

Ответ: .

8.68. Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, — нормально распределенная случайная величина. Известно, что 65 % контейнеров имеют чистый вес больше чем 4,9 т и 25 % — имеют вес меньше 4,2 т. Найдите ожидаемый средний вес и среднее квадратическое отклонение чистого веса контейнера.

Ответ: а = 5,8293; .

8.69. В магазине 10 000 книг. Вероятность продажи каждой из них в течение дня равна 0,8. Какое максимальное число книг будет продано в течение дня с вероятностью 0,999, если предположить, что число проданных книг есть случайная величина, распределенная по нормальному закону.

Ответ: 8124.

8.70. Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в определенной области Заполярья есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с а = 0 и . Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный момент времени будет больше, чем 2,4?

Ответ: 0,0164.

8.71. Для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с а = 32 и найдите два значения х ₁ и х ₂, симметричные относительно а с

Ответ: ; .

8.72. Еженедельный выпуск продукции на заводе распределен приблизительно по нормальному закону со средним значением а = 134786 единиц продукции в неделю и ед. Найти вероятность того, что еженедельный выпуск продукции: а) превысит 150000 единиц; б) окажется ниже 100000 единиц в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры и недельный выпуск продукции стал ниже 80000 единиц. Менеджеры обвиняют профсоюзы в беспрецендентном падении выпуска продукции, а профсоюзы утверждают, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня . Доверяете ли Вы профсоюзам?

Ответ: а) 0,121; б) 0,00368; в) нет.

8.73. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением и неизвестным математическим ожиданием а. В 90 % случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найти среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

Ответ: а = 13158,6.

8.74. Автомат изготавливает подшипники, которые считаются годными, если отклонение Х от проектного размера по модулю не превышает 0,77 мм. Каково наиболее вероятное число годных подшипников из 100, если случайная величина Х распределена нормально с параметром мм?

Ответ: .

8.75. Линия связи обслуживает 1000 абонентов. Каждый абонент разговаривает в среднем 6 минут в час. Сколько каналов должна иметь линия связи, чтобы с практической достоверностью можно было утверждать, что не произойдет ни одной потери вызова?

Ответ: 130 каналов.