Последовательная полиномиальная аппроксимация с проверкой гипотезы о степени полинома

На практике при экспериментальном исследовании (идентификации) функциональных зависимостей, которые имеют место в природном или рукотворном объекте или в компьютерной модели, порядок степенного или обобщенного полинома, как правило, неизвестен, за исключением случаев, когда этот порядок задан заранее. Поэтому практически важной задачей является выбор такого порядка (степени) полинома, при котором обеспечиваются:

заданная точность аппроксимации исследуемой функции;

вычислительная устойчивость операций, выполняемых для нахождения оценок коэффициентов аппроксимирующего полинома.

Эти два требования противоположны.

С одной стороны, точность аппроксимации гладких функций степенным или обобщенным полиномом повышается с увеличением степени полинома.

С другой стороны, с увеличением степени полинома, как указано в разд. 2.3.7.7, увеличивается количество оцениваемых коэффициентов и в связи с этим ухудшается обусловленность матриц, участвующих в выполняемых операциях, что приводит к утрате вычислительной устойчивости этих операций. Неустойчивость вычислений доходит до экстремально высокого уровня, когда заданная при аппроксимации степень полинома настолько высока, что приходится находить оценки несуществующих или пренебрежимо малых коэффициентов.

Ранее назывались средства повышения вычислительной устойчивости полиномиальной аппроксимации, такие, как С -оптимальное планирование эксперимента (см. разд. 2.3.7.8) и регуляризация по Тихонову (ридж-оценивание, см. разд. 2.3.7.7), но эти средства не являются радикальными по следующим причинам.

Далеко не всегда имеется возможность выполнять эксперимент при значениях , расстановка которых соответствует С -оптимальному плану. Это может быть при исследовании природных зависимостей, когда воспроизведение заданных значений неподвластно человеку, или когда воспроизведение этих значений с заданной точностью технически невозможно.

Применение метода тихоновской регуляризации (ридж-оценивания) затруднено неопределенностью в выборе параметра регуляризации, универсальные практические рецепты выбора его оптимального значения пока отсутствуют.

Практически реализуемой является стратегия полиномиальной аппроксимации (как и всякой другой), основанная на следующих принципах:

не стремиться к точности аппроксимации, превышающей точность исходных данных, которая определяется характеристиками погрешностей измерений и количеством независимых повторных измерений n;

подбирать подходящую степень (порядок) полинома путем направленного перебора от наименьшей в сторону возрастания до того значения, при котором характеристики погрешности аппроксимации окажутся согласованными с погрешностями исходных данных.

При реализации такой стратегии погрешность аппроксимации монотонно уменьшается, а погрешность, порождаемая вычислительной неустойчивостью, монотонно повышается. М. А. Красносельский доказал, что подобная стратегия является регуляризирующей стратегией решения плохообусловленных и некорректных задач.

Может оказаться, что этот процесс наращивания степени полинома остановится до достижения заданной заранее точности аппроксимации. Это значит, что при имеющейся погрешности исходных данных такая точность недостижима. Что делать в этом случае? Есть два пути: повысить точность измерений или увеличить количество независимых многократных измерений.

В противном случае, когда заданная точность уже достигнута, а процесс наращивания степени полинома еще не остановлен по указанному выше признаку согласования погрешностей, возможны варианты: остановить процесс по признаку достижения заданной точности или продолжить процесс и зафиксировать ту точность, которая достигнута и превышает заданную.

В условиях, когда погрешности исходных данных случайны, остановка процесса монотонного наращивания степени аппроксимирующего полинома может осуществляться только при параллельной проверке гипотезы о степени полинома на каждом шаге такого наращивания в соответствии с одним из вариантов, рассмотренных в разд. 2.5.

А л г о р и т м п о с л е д о в а т е л ь н о й п о л и н о м и а л ь н о й а п п р о к с и м а ц и и ф у н к ц и й с проверкой гипотезы о степени полинома:

1. Выполняют эксперименты при значениях , где k должно быть больше максимально возможного предполагаемого количества коэффициентов искомого полинома.

2. Задают вероятность .

3. При необходимости в зависимости от ситуации вычисляются оценки , проверяют гипотезу о равенстве дисперсий и принимается решение о применении МНК или ОМНК.

4. Задают начальную степень полинома p.

5. Формируют матрицу X.

6. По формулам разд. 2.5 в зависимости от ситуации вычисляются оценки коэффициентов аппроксимирующего полинома порядка (степени) p.

7. Вычисляется статистика или (в зависимости от ситуации) критерия проверки гипотезы о степени полинома, значение этой статистики сравнивается с соответствующим критическим значением (см. разд. 2.5.6.2, 2.5.6.3).

8. Делается вывод о справедливости нулевой гипотезы.

Если принято решение об отклонении нулевой гипотезы, p = p + 1, возврат на 5.

В противном случае переход на 9.

9. По одной из подходящих формул разд. 2.5.6.2, 2.5.6.3 вычисляется ковариационная матрица погрешностей определения коэффициентов аппроксимирующего полинома.

Замечание. Шаг 9 приведенного алгоритма обязателен, ибо всякий результат эксперимента или оценивания должен сопровождаться сообщением о характеристиках его погрешности.