Простые гипотезы

Простой называется гипотеза о значении числовой характеристики или параметра, когда область значений, предполагаемых этой гипотезой, и область альтернативных значений - каждая из них являются одноточечной.

В других случаях гипотеза называется сложной.

Пример простой гипотезы.

Плотность распределения генеральной совокупности – нормальна, дисперсия известна и равна . Из генеральной совокупности X извлечена выборка . Проверяется простая гипотеза

: против альтернативы : .

Примеры необходимости проверки подобного рода гипотез в технике:

при цифровой передаче данных в условиях действия сильных помех с целью различения передаваемых двоичных символов 0 и 1;

в системах управления технологическими процессами с целью выявления состояния двухпозиционных устройств, контроля исполнения дискретных управляющих воздействий, обнаружения разладки технологического процесса и т.д.

Для проверки этой гипотезы подходящей статистикой является среднее арифметическое значение, плотность распределения которого, как мы уже выяснили, также нормальна с дисперсией , а математическое ожидание равно a или b – в зависимости от того, какая из двух гипотез реально имеет место.

В случае справедливости гипотезы , в случае справедливости гипотезы . Эти две плотности распределения статистики приведены на рис. 34. Они пересекаются, и стоит задача определения границы областей и , то есть критического значения , чтобы обеспечить требуемые значения вероятностей ошибочных решений a и b. Эти вероятности показаны на рис.34, как площади под кривыми плотностей распределения статистики, соответствующих гипотезам и .

В самом деле, если гипотеза справедлива, среднее арифметическое значение из-за действия случайных факторов может попасть в критическую область с вероятностью . Тогда, если так случится, будет сделан ошибочный вывод, который приведет к отклонению этой, на самом деле справедливой гипотезы.

В противном случае, когда справедлива гипотеза , среднее арифметическое значение из-за действия случайных факторов может попасть в область с вероятностью , что также приведет к ошибочному выводу.

Видно (см. рис. 34), что перемещением границы между областями и можно устанавливать желательное соотношение между вероятностями a и b. Но может оказаться, что их значения слишком велики, и перемещение критического значения не приводит к их снижению. В таком случае необходимо увеличивать объем выборки. В результате дисперсия среднего арифметического уменьшится, его плотность распределения сузится, общая площадь под обеими кривыми уменьшится и, следовательно, уменьшатся вероятности ошибочных решений.

Этот пример показывает, что при проверке простой гипотезы контролируются значения обеих вероятностей ошибочных решений: a и b.