Случайного вектора

Из многомерной генеральной совокупности X, образованной случайным вектором с математическим ожиданием и ковариационной матрицей , извлечена вы­борка векторов , которые попарно независимы в соответствии с исходным требованием математической статистики об обеспечении независимости выборочных данных.

Оценкой ковариационной матрицы является матрица той же размерности, диагональные элементы которой – оценки диагональных элементов матрицы , то есть дисперсий j -х компонент случайного вектора ξ. Желательно получить несмещенные оценки этих дисперсий, как и всех остальных элементов матрицы , то есть ковариаций.

Вычисление оценки ковариационной матрицы выполняется в соответствии с ее определением (см. разд. 1.8), где вместо символа математического ожидания, как и ранее, используются суммирование и усреднение. Поэтому несмещенная оценка ковариационной матрицы, все элементы которой должны быть несмещенными оценками элементов матрицы , вычисляется по формуле

.

В знаменателе этой формулы n уменьшается на единицу, как и в разд. 2.3.4.2, поскольку каждый элемент матрицы “истратил” по одной степени свободы из-за предварительного вычисления среднего арифметического значения соответствующей компоненты. Это понятно и из такого соображения: по выборке объема n = 1 (при этом в знаменателе формулы будет 0) невозможно судить ни о разбросе значений случайных величин, ни о степени их коррелированности. Кроме того, при оценивании ковариационной матрицы необходимо обеспечить, чтобы объем k выборки был не меньше их размерности, то есть чтобы выполнялось неравенство , иначе определитель матрицы будет равен 0, а сама матрица окажется особенной.