Задание № 9

Дано уравнение f (x) = 0. Требуется: 1) графическим методом отделить корень этого уравнения; 2) найти этот корень с точностью до 0,1 методом деления отрезка пополам.

9.1.	2 x + 5 x = 0.	9.2.	х 3 + 2 х – 7 = 0	9.3.	х – (х + 1)3 = 0.
9.4.	ln x + 5 x = 0.	9.5.	x ln x – 4 = 0.	9.6.	х 3 + 3 х – 7 = 0.
9.7.	ln x – 6 + 7 x = 0.	9.8.	3 x + 4 x = 0.	9.9.	4 x + 2 x = 0.
9.10.	5 x + 3 x = 0.	9.11.	2 x + 2 x – 2 = 0.	9.12.	ln x + 3 x – 2 = 0.
9.13.	2 х + 5 х – 3 = 0.	9.14.	ln x + 3 x – 1 = 0.	9.15.	x ln x – 5 = 0.
9.16.	2 ex – x 2 = 0.	9.17.	ln x – 5 + 6 x = 0.	9.18.	4 x + 5 x = 0.
9.19.	ex + 3 x = 0.	9.20.	4 x + 3 x = 0.	9.21.	ex + 5 x = 0.
9.22.	3 x 2 – 7 ex = 0.	9.23.	3 x + x = 0.	9.24.	2 ln x + 5 x = 0.
9.25.	2 x ln x – 7 = 0.	9.26.	х 3 + 4 х + 1 = 0.	9.27.	ln x – 7 + 8 x = 0.
9.28.	2×3 x + 7 x = 0.	9.29.	3×4 x + 7 x = 0.	9.30.	2×5 x + 7 x = 0.

Решение типового варианта КР № 2

2 Задание 6. Даны комплексные числа z ₁ и z ₂ . а). Записать их в тригонометрической форме и отметить полученные числа на комплексной плоскости; б). Найти числа z ₁ + z ₂, z ₁ – z ₂, построить; в). Найти z ₁ z ₂, z ₁ / z ₂, записать в тригонометрической и алгебраической формах, сравнить результаты; г). Найти ; д). Найти , построить.

Решение. а). Преобразуем число к виду , для этого умножим и разделим его на число, сопряженное к знаменателю

.

Запишем числа и в тригонометрической форме. Воспользуемся формулами

,

,

Точка попадает во вторую четверть, поэтому j₁ = arctg (–4 / 3) + 180° = = –53,13° + 180° = 126,87° Þ = 5 .

,

Точка попадает в четвертую четверть, поэтому j₂ = arctg (–2 / 5) = –21,8° и

= 5,39 .

Отметим полученные числа на комплексной плоскости (рисунок 4).

б). Вычислим z ₃ = z ₁ + z ₂, z ₄ = z ₁ – z ₂. В алгебраической форме

z ₃ = + ;

z ₄ = – .

Отметим полученные числа на комплексной плоскости (рисунок 9.1).

в). Вычислим z ₁ z ₂ и z ₁ / z ₂.

В алгебраической форме

;

;

в тригонометрической форме по формулам

имеем

= 5 5,39 =

= 26,95 ,

.

Для проверки полученных результатов перейдем от тригонометрической формы записи комлексных чисел опять к алгебраической:

= 26,95 = 26,95 (–0,26 + 0,966 i) = –7,01 + 26,02 i,

= 0,93 (–0,854 + 0,52 i) = –0,79 + 0,48 i.

Таким образом, расчеты выполнены верно.

в) Вычислим . По формуле имеем

= 5³

.

Для нахождения корней третьей степени воспользуемся формулой Муавра :

Þ

,

;

;

.

Отметим полученные числа на комплексной плоскости (рисунок 4).

2Задание 7. Вычислить пределы

а) при х ₀ = 2; х ₀ = 1; х ₀ ® ¥.

б) ; в) ; г) .

Решение. При вычислении пределов допустимы использование уже известных пределов и элементарные преобразования. В некоторых случаях бывает целесообразным использовать для приближенных вычислений при малых значениях х (всюду ) таблицу эквивалентных бесконечно малых:

1) ~ х,	2) tg x ~ х,	3) ~ х,
4) ~ х,	5) ~ ,	6) ~ х,
7) ~ х,	8) ~ х ln a,	9) ~ aх.

а) 1.

а) 2. .

Неопределенности вида раскрываются путем сокращения на множитель, дающий 0. Разложим числитель и знаменатель на множители по формуле . Для этого решим уравнения и . Корни первого уравнения – {1, –2 / 3}, второго – {1, –3 / 2}, тогда

, .

Подставим полученные разложения под знак предела и получим

.

а) 3. .

Такие неопределенности раскрываются путем вынесения старшей степени неизвестной

.

б) .

Для того, чтобы избавиться от иррациональностей, умножим и числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю:

.

в) .

Для раскрытия неопределенностей такого вида воспользуемся первым замечательным пределом и равенством .

Тогда

.

г) .

Для раскрытия неопределенностей вида воспользуемся вторым замечательным пределом

Тогда

. v

2 Задание 8. Задана функция Установить, является ли данная функция непрерывной. В случае разрыва функции в некоторой точке найти ее пределы слева и справа, классифицировать характер разрыва. Построить схематично график функции.

Решение. В интервалах (–¥; 0), (0, 2) и (2, ¥) функция непрерывна. Исследуем функцию на непрерывность в точках х ₁ = 0 и х ₂ = 2. Воспользуемся условием непрерывности функции в точке х ₀ .

1) исследуем точку х ₁ = 0:

точка х ₁ = 0 – точка разрыва функции 1 рода со cкачком s (0) = –1;

2) исследуем точку х ₂ = 2:

,

следовательно, в точке х ₂ = 2 функция непрерывна. Построим график (см. рисунок 5). v

2 Задание 9. Дано уравнение . Требуется: 1) Графическим методом отделить корень этого уравнения. 2) Найти этот корень методом половинного деления с точностью e = 0,1.

Решение. Для нашего примера примем ; .

Графики этих функций изображены на рисунке 6.

Как видно, . Рассмотрим отрезок [0, 1]. Имеем

; ; .

Таким образом, на отрезке [0, 1] функция f (x) непрерывна, принимает значения разных знаков на концах отрезка [0, 1] и первая производная сохраняет знак на интервале (0, 1), поэтому на этом отрезке имеется единственный корень. Рассмотрим интервалы и :

,

т. е. на этих интервалах функция f (x) не меняет знак, следовательно, корней на них нет.

Найдем корень на отрезке [0, 1]. Итерационная процедура метода половинного деления будет иметь вид

1) , < 0;

2) , 0,75³ + 0,75 – 1 = 0,172 > 0;

3) , = f (0,625) = 0,625³ + 0,625 – 1 = –0,131 < 0;

4) , =

f (0,688) = 0,688³ + 0,688 – 1 = 0,012 > 0;

5) x Î [0,625; 0,688].

Так как длина последнего отрезка = 0,063 < e = 0,1, то процесс закончен и приближенное значение корня . Возьмем в качестве корня середину отрезка, т. е. 0,66.

Для проверки результатов расчетов вычислим f (0,66): , т. е. корень найден верно. v

¨ Рекомендуемая литература

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 2004. 376 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. В 2-х томах. Т. I. М.: Интеграл-пресс, 2007. 416 с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. М.: Высшая школа, 2007. 416 с.

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и практикум. Ч. 1. Под ред. Кремера Н.Ш. М.: Высшее образование, 2005. 486 с.

5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике (часть 1). М.: Айрис-пресс, 2004. 288 с.

6. Высшая математика: Методические указания, рабочая программа и контрольные задания для студентов заочной формы обучения инженерно-технических специальностей. Часть 1 / Ю.В. Гуменникова, Л.В. Кайдалова, О.Е. Лаврусь; Самара: СамГУПС, 2009. 72 с. (МУ № 2298).

7. Высшая математика. Тренировочные тестыдля студентов заочной формы обучения инженерно-технических и экономических специальностей (1 семестр) / А.Д. Бочкарев, Л.В. Кайдалова; Самара: СамГУПС, 2009. 34 с. (МУ № 2253).

8. Климова Е.Н., Маркович О.Ф. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Конспект лекций для студентов первого курса всех специальностей и форм обучения. Самара: СамГАПС, 2003. 64 с.

9. Высшая математика. Тренировочные тестыдля студентов инженерно-технических и экономических специальностей / А.П. Зубарев, Л.В. Кайдалова; Самара: СамГАПС, 2005. 28 с. (МУ № 1579).

Оглавление

1. Задания для контрольной работы №1.............................................................................. 3

Задание № 1...................................................................................................................... 3

Задание № 2...................................................................................................................... 4

Задание № 3...................................................................................................................... 6

Задание № 4...................................................................................................................... 7

Задание № 5...................................................................................................................... 8

2. Решение типового варианта КР № 1................................................................................. 8

3. Задания для контрольной работы № 2........................................................................... 18

Задание № 6.................................................................................................................... 18

Задание № 7.................................................................................................................... 19

Задание № 8.................................................................................................................... 23

Задание № 9.................................................................................................................... 25

4. Решение типового варианта КР № 2............................................................................... 25

Рекомендуемая литература........................................................................................... 31

План 2009 г.