Задание № 5. Даны уравнения линии r = r (j) в полярной системе координат

Даны уравнения линии r = r (j) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам на промежутке от j = 0 до j = 2p с шагом, равным p / 8; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты центра и полуоси.

5.1. .	5.2. .	5.3. .
5.4. .	5.5. .	5.6. .
5.7. .	5.8. .	5.9. .
5.10. .	5.11. .	5.12. .
5.13. .	5.14. .	5.15. .
5.16. .	5.17. .	5.18. .
5.19. .	5.20. .	5.21. .
5.22. .	5.23. .	5.24. .
5.25. .	5.26.	5.27. .
5.28.	5.29. .	5.30. .

Решение типового варианта КР № 1

2Задание 1. Решить СЛУ методом Крамера и матричным методом. Сделать проверку найденного решения.

Решение. Метод Крамера. Составим и вычислим определитель системы D и вспомогательные определители (полученные из D заменой столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной столбцом свободных членов) разложением по элементам первой строки

D=

;

; ; ;

тогда

.

Сделаем проверку

Þ Х = (4, 2, 1).

Матричный метод. Обозначим

, .

Найдем

1) определитель

.

Следовательно, матрица невырожденная и существует .

2) транспонированную матрицу .

3) союзную матрицу .

4) обратную матрицу .

Находим решение системы X = А ^–1 В:

.

Ответ: Х = (4, 2, 1). v

2Задание 2. Решить систему линейных уравнений АХ = В, заданной расширенной матрицей, методом последовательного исключения неизвестных. В случае неопределенности системы найти ее общее, базисное и любое частное решения. Сделать проверку.

.

Решение. Возьмем переменную х ₃ в первом уравнении за базисную и исключим ее из второго и третьего уравнений системы. Для этого умножим первое уравнение на (+2) и сложим со вторым. Для исключения х ₃ из третьего уравнения умножим первое уравнения на (+1) и сложим с третьим:

.

Возьмем в другой строке новую базисную переменную х ₄ и исключим ее из первого и третьего уравнений. Вычеркнем строку, содержащую одни нули.

Þ .

Итак, базисными переменными будут х ₃, х ₄.

Разрешим полученные уравнения относительно базисных переменных. Остальные (небазисные) переменные называются свободными (х ₁ и х ₂).

Выражение базисных переменных через свободные называется общим решением СЛУ.

В нашем случае общее решение имеет вид

Если в общем решении приравнять свободные переменные нулю, то получим базисное решение

.

Если в общем решении свободным переменным давать произвольные значения, то получим множество частных решений.

Пусть х ₁ = 1, х ₂ = –1 Þ ;

х ₁ = 0, х ₂ = 2 Þ .

Сделаем проверку, подставив, например, базисное решение в СЛУ:

Ответ: Общее решение Базисное решение , частное решение . v

2 Задание 3. По трем заданным точкам А (3, 1), В (–13, –11), С (–6, 13) построить треугольник и средствами векторной алгебры найти: 1) длину стороны ВС; 2) уравнение линии ВС; 3) уравнение высоты, проведенной из точки А; 4) длину высоты, проведенной из точки А; 5) площадь треугольника АВС; 6) угол между сторонами ВА и ВС; 7) координаты точки N – середины стороны АС; 8) координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2: 3, считая от точки А.

Решение. Чертеж треугольника приведен на рисунке 1.

1. Вычислим координаты вектора , где В (х ₁, у ₁, z ₁), С (х ₂, у ₂, z ₂), по формуле

= (–6 – (–13); 13 – (–11)) = (7, 24).

Вычислим длину вектора по формуле

= .

2. Запишем уравнение прямой ВС в виде :

Þ Þ Þ .

Уравнение прямой ВС: .

3. Уравнение высоты АD может быть получено различными способами.

1 способ. Заметим, что вектор является нормальным вектором для прямой АD и точка А (3, 1) принадлежит прямой АD, следовательно,

Þ .

Итак, АD: .

2 способ. Запишем уравнение высоты, проведенной из точки А в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом k, при этом воспользуемся свойствами угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых.

Определим угловой коэффициент прямой ВС. Для этого разрешим уравнение прямой относительно у, имеем

Þ Þ .

Подставим полученные данные в уравнение прямой, проходящей через точку М (х ₀, у ₀), перпендикулярно данной прямой y = k ₁ x + b, которое имеет вид , и получим .

Запишем полученное уравнение в форме общего уравнения плоскости:

.

Заметим, что результаты в первом и втором слyчаях совпадают.

Итак, прямая АD задается уравнением .

4. Длину высоты АD также можно определить различными способами.

1 способ. Поскольку координаты точки А известны, найдем координаты точки D. Заметим, что точка D лежит на пересечении прямых ВС и АD, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Составляем систему из уравнений, задающих прямые ВС и АD:

Решим систему по формулам Крамера:

Þ ,

, ,

; Þ D (–8,52; 4,36).

Теперь воспользуемся формулой для вычисления длины отрезка

.

2 способ. Длину отрезка АD можно рассматривать как расстояние от точки А (3, 1) до прямой ВС (), поэтому воспользуемся формулой , где (x ₀, y ₀) – координаты точки А, Ах + Ву + С = 0 – уравнение прямой:

.

5. Найти площадь треугольника АВС. В предыдущих пунктах были определены величина основания и длина высоты . Поэтому целесообразно применить формулу . Имеем (кв. ед.).

6. Для вычисления величины угла между сторонами ВА и ВС (угол a) воспользуемся формулой :

, ,

.

.

a= аrcсos 0,8 = 36°50¢ (если воспользоваться калькулятором или компьютером, то результат может быть записан в виде 36,87°).

7. Для нахождения координат середины отрезка АС воспользуемся формулами ; ; , где l = 1.Имеем

Þ .

8. Координаты точки М, найдем по формулам ; ; , где l = 2 / 3:

; .

Окончательно .

Ответ: = 25; уравнение прямой ВС: ; уравнение прямой АD: ; ; (кв. ед.); a= 36°50¢; ; . v

2 Задание 4. По четырем заданным точкам А ₁(4, 2, 5), А ₂(0, 7, 2), А ₃(0, 2, 7), А ₄(1, 5, 0) построить пирамиду и средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра А ₁ А ₂; 2) угол между ребрами А ₁ А ₂ и А ₁ А ₄; 3) площадь грани А ₁ А ₂ А ₃; 4) объем пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄; 5) уравнение прямой А ₁ А ₂; 6) уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃.

Чертеж пирамиды приведен на рисунке 2.

1. Найдем координаты и длину вектора :

= ,

.

2. Для определения угла j, вычислим координаты и модули векторов, направленных по сторонам этого угла:

, ;

.

Угол определим по формуле

.

По таблицам находим .

3. Для вычисления площади грани А ₁ А ₂ А ₃ воспользуемся свойствами векторного произведения двух векторов, на которых построен треугольник А ₁ А ₂ А ₃, и формулой :

, = (–4, 5,–3), ,

= ,

Þ (кв. ед.).

4. Для вычисления объема воспользуемся формулой смешанного произведения:

, (куб. ед.).

5. Для определения уравнения прямой А ₁ А ₂ воспользуемся уравнением . Имеем

,

окончательно получаем уравнение прямой А ₁ А ₂

.

6. Уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃ запишем в форме уравнения плоскости, проходящей через три точки по формуле :

.

Разделим обе части уравнения на 10, окончательно уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃ примет вид x + 2 y + 2 z – 18 = 0.

Ответ: ; ; (кв. ед.);

(куб. ед.); уравнение прямой А ₁ А ₂: ;

уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃: x + 2 y + 2 z – 18 = 0. v

2 Задание 5 Даны уравнения линии в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам на промежутке от j = 0 до j = 2p с шагом, равным p / 8; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты центра и длины полуосей.

Решение. Составим таблицу 4 для вычисления значений r.

Таблица 4

j		p / 8	p / 4	3p / 8	p / 2	5p / 8	3p / 4	7p / 8	p	…
cos j		0,92	0,71	0,38		–0,38	–0,71	–0,92	–1	…
r		1,04	1,15	1,38	1,80	2,59	4,14	6,90		…

Построим линию, учитывая, что (рисунок 3).

Для перехода в декартовую систему координат воспользуемся формулами

, .

Получим уравнение

,

которое после преобразований примет вид

Þ Þ

Þ Þ ,

Þ Þ .

Получили уравнение эллипса с центром в точке О ¢(–4; 0) и полуосями а = 5, b = 3 (рисунок 4).

Ответ: уравнение эллипса с центром в точке

О (–4; 0) и полуосями а = 5, b = 3. v