![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Даны уравнения линии r = r (j) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам на промежутке от j = 0 до j = 2p с шагом, равным p / 8; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты центра и полуоси.
5.1. ![]() | 5.2. ![]() | 5.3. ![]() |
5.4. ![]() | 5.5. ![]() | 5.6. ![]() |
5.7. ![]() | 5.8. ![]() | 5.9. ![]() |
5.10. ![]() | 5.11. ![]() | 5.12. ![]() |
5.13. ![]() | 5.14. ![]() | 5.15. ![]() |
5.16. ![]() | 5.17. ![]() | 5.18. ![]() |
5.19. ![]() | 5.20. ![]() | 5.21. ![]() |
5.22. ![]() | 5.23. ![]() | 5.24. ![]() |
5.25. ![]() | 5.26. ![]() | 5.27. ![]() |
5.28. ![]() | 5.29. ![]() | 5.30. ![]() |
Решение типового варианта КР № 1
2Задание 1. Решить СЛУ методом Крамера и матричным методом. Сделать проверку найденного решения.
Решение. Метод Крамера. Составим и вычислим определитель системы D и вспомогательные определители (полученные из D заменой столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной столбцом свободных членов) разложением по элементам первой строки
D=
;
;
;
;
тогда
.
Сделаем проверку
Þ Х = (4, 2, 1).
Матричный метод. Обозначим
,
.
Найдем
1) определитель
.
Следовательно, матрица невырожденная и существует .
2) транспонированную матрицу .
3) союзную матрицу .
4) обратную матрицу .
Находим решение системы X = А –1 В:
.
Ответ: Х = (4, 2, 1). v
2Задание 2. Решить систему линейных уравнений АХ = В, заданной расширенной матрицей, методом последовательного исключения неизвестных. В случае неопределенности системы найти ее общее, базисное и любое частное решения. Сделать проверку.
.
Решение. Возьмем переменную х 3 в первом уравнении за базисную и исключим ее из второго и третьего уравнений системы. Для этого умножим первое уравнение на (+2) и сложим со вторым. Для исключения х 3 из третьего уравнения умножим первое уравнения на (+1) и сложим с третьим:
.
Возьмем в другой строке новую базисную переменную х 4 и исключим ее из первого и третьего уравнений. Вычеркнем строку, содержащую одни нули.
Þ
.
Итак, базисными переменными будут х 3, х 4.
Разрешим полученные уравнения относительно базисных переменных. Остальные (небазисные) переменные называются свободными (х 1 и х 2).
Выражение базисных переменных через свободные называется общим решением СЛУ.
В нашем случае общее решение имеет вид
Если в общем решении приравнять свободные переменные нулю, то получим базисное решение
.
Если в общем решении свободным переменным давать произвольные значения, то получим множество частных решений.
Пусть х 1 = 1, х 2 = –1 Þ ;
х 1 = 0, х 2 = 2 Þ .
Сделаем проверку, подставив, например, базисное решение в СЛУ:
Ответ: Общее решение Базисное решение
, частное решение
. v
2 Задание 3. По трем заданным точкам А (3, 1), В (–13, –11), С (–6, 13) построить треугольник и средствами векторной алгебры найти: 1) длину стороны ВС; 2) уравнение линии ВС; 3) уравнение высоты, проведенной из точки А; 4) длину высоты, проведенной из точки А; 5) площадь треугольника АВС; 6) угол между сторонами ВА и ВС; 7) координаты точки N – середины стороны АС; 8) координаты точки М, делящей сторону АВ в отношении 2: 3, считая от точки А.
Решение. Чертеж треугольника приведен на рисунке 1.
1. Вычислим координаты вектора , где В (х 1, у 1, z 1), С (х 2, у 2, z 2), по формуле
= (–6 – (–13); 13 – (–11)) = (7, 24).
Вычислим длину вектора по формуле
=
.
2. Запишем уравнение прямой ВС в виде :
Þ
Þ
Þ
.
Уравнение прямой ВС: .
3. Уравнение высоты АD может быть получено различными способами.
1 способ. Заметим, что вектор является нормальным вектором для прямой АD и точка А (3, 1) принадлежит прямой АD, следовательно,
Þ
.
Итак, АD: .
2 способ. Запишем уравнение высоты, проведенной из точки А в форме уравнения прямой с угловым коэффициентом k, при этом воспользуемся свойствами угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых.
Определим угловой коэффициент прямой ВС. Для этого разрешим уравнение прямой относительно у, имеем
Þ
Þ
.
Подставим полученные данные в уравнение прямой, проходящей через точку М (х 0, у 0), перпендикулярно данной прямой y = k 1 x + b, которое имеет вид , и получим
.
Запишем полученное уравнение в форме общего уравнения плоскости:
.
Заметим, что результаты в первом и втором слyчаях совпадают.
Итак, прямая АD задается уравнением .
4. Длину высоты АD также можно определить различными способами.
1 способ. Поскольку координаты точки А известны, найдем координаты точки D. Заметим, что точка D лежит на пересечении прямых ВС и АD, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Составляем систему из уравнений, задающих прямые ВС и АD:
Решим систему по формулам Крамера:
Þ
,
,
,
;
Þ D (–8,52; 4,36).
Теперь воспользуемся формулой для вычисления длины отрезка
.
2 способ. Длину отрезка АD можно рассматривать как расстояние от точки А (3, 1) до прямой ВС (), поэтому воспользуемся формулой
, где (x 0, y 0) – координаты точки А, Ах + Ву + С = 0 – уравнение прямой:
.
5. Найти площадь треугольника АВС. В предыдущих пунктах были определены величина основания и длина высоты
. Поэтому целесообразно применить формулу
. Имеем
(кв. ед.).
6. Для вычисления величины угла между сторонами ВА и ВС (угол a) воспользуемся формулой :
,
,
.
.
a= аrcсos 0,8 = 36°50¢ (если воспользоваться калькулятором или компьютером, то результат может быть записан в виде 36,87°).
7. Для нахождения координат середины отрезка АС воспользуемся формулами ;
;
, где l = 1.Имеем
Þ
.
8. Координаты точки М, найдем по формулам ;
;
, где l = 2 / 3:
;
.
Окончательно .
Ответ: = 25; уравнение прямой ВС:
; уравнение прямой АD:
;
;
(кв. ед.); a= 36°50¢;
;
. v
2 Задание 4. По четырем заданным точкам А 1(4, 2, 5), А 2(0, 7, 2), А 3(0, 2, 7), А 4(1, 5, 0) построить пирамиду и средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра А 1 А 2; 2) угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4; 3) площадь грани А 1 А 2 А 3; 4) объем пирамиды А 1 А 2 А 3 А 4; 5) уравнение прямой А 1 А 2; 6) уравнение плоскости А 1 А 2 А 3.
Чертеж пирамиды приведен на рисунке 2.
1. Найдем координаты и длину вектора :
=
,
.
2. Для определения угла j, вычислим координаты и модули векторов, направленных по сторонам этого угла:
,
;
.
Угол определим по формуле
.
По таблицам находим .
3. Для вычисления площади грани А 1 А 2 А 3 воспользуемся свойствами векторного произведения двух векторов, на которых построен треугольник А 1 А 2 А 3, и формулой :
,
= (–4, 5,–3),
,
=
,
Þ
(кв. ед.).
4. Для вычисления объема воспользуемся формулой смешанного произведения:
,
(куб. ед.).
5. Для определения уравнения прямой А 1 А 2 воспользуемся уравнением . Имеем
,
окончательно получаем уравнение прямой А 1 А 2
.
6. Уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 запишем в форме уравнения плоскости, проходящей через три точки по формуле :
.
Разделим обе части уравнения на 10, окончательно уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 примет вид x + 2 y + 2 z – 18 = 0.
Ответ: ;
;
(кв. ед.);
(куб. ед.); уравнение прямой А 1 А 2:
;
уравнение плоскости А 1 А 2 А 3: x + 2 y + 2 z – 18 = 0. v
2 Задание 5 Даны уравнения линии в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам на промежутке от j = 0 до j = 2p с шагом, равным p / 8; 2) найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) назвать линию, найти координаты центра и длины полуосей.
Решение. Составим таблицу 4 для вычисления значений r.
Таблица 4
j | p / 8 | p / 4 | 3p / 8 | p / 2 | 5p / 8 | 3p / 4 | 7p / 8 | p | … | |
cos j | 0,92 | 0,71 | 0,38 | –0,38 | –0,71 | –0,92 | –1 | … | ||
r | 1,04 | 1,15 | 1,38 | 1,80 | 2,59 | 4,14 | 6,90 | … |
![]() |
Для перехода в декартовую систему координат воспользуемся формулами
,
.
Получим уравнение
,
которое после преобразований примет вид
Þ
Þ
Þ
Þ
,
Þ
Þ
.
Получили уравнение эллипса с центром в точке О ¢(–4; 0) и полуосями а = 5, b = 3 (рисунок 4).
Ответ: уравнение эллипса с центром в точке
О (–4; 0) и полуосями а = 5, b = 3. v
Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 3617 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!