Обобщение эконометрической модели

Как отмечалось выше, наибольшим упрощением является использование функции предложения, зависимости объема производства от цены, тем более, что эта зависимость определяется не столько ценой продажи продукции, сколько издержками производства. В данном разделе рассматривается обобщение эконометрической модели фирмы, более или менее корректно переносимой на отрасль, с большим упрощением -– на экономику в целом.

В этой модели основой является использование эконометрических зависимостей спроса от цены и издержек производства от его объема, тиража. Однако вместо степенной зависимости спроса от тиража здесь используется обобщенная зависимость, предложенная в разделе 2.

Если не фиксировать вид этой зависимости (функции спроса) Q(P₁), P₁ = P(1 + q₁), q₁ – ставка налога на добавленную стоимость, но сохранить эконометрическую зависимость издержек от тиража:

Z = Z ₀ + R (a + b R^{- g}₁), 0 < g₁ < 1,

то уравнение для оптимальной равновесной цены («цены рынка»), дающей максимум прибыли, имеет вид:

P₁ – [ a + b (1- g₁) Q ^{– g}₁ ] (1+q₁) = - Q / Q¢.

При использовании обобщенной зависимости спроса от цены, введенной выше, в разделе 2, это приводит для введенных там же безразмерных (масштабированных) переменных x и v (P₁ = P₁₀ x, Q = Q₀ v /E) к системе уравнений:

x – a₁ – b₁ v ^–g ₁ = x v /(v - a₁)(a₂ - v),

v = (a₁ x^a + a C)/ (x^a + C).

Фигурирующие в этих уравнениях константы также определены в разделе 2. Разрешая каждое из этих уравнений относительно х, приходим к одному уравнению относительно v:

x = f₁ (v) = (a₁ + b₁ v ^–g ₁)/ j (v),

x = f₂ (v) = [ C (a₂ - v) / (v - a₁)]^1/a ,

j (v) = 1 – v / (a₂ - v) (v - a₁), a = a₂ - a₁,

f₁ (v) = f₂ (v).

Неотрицательность х требует не только выполнения условий

a₁ < v < a₂,

но и более жестких условий:

a₁ < v₁ < v < v₂ < a₂ ,

где v₁, v₂ - корни уравнения j(v) = 0 или v = (a₂ - v) (v - a₁).

Легко проверить, что эти корни - вещественные и действительно лежат в требуемом интервале, если

a₂² - 2a₂ (1 + a₁) + (1 - 2a₁) > 0,

то есть a₂ < 1 + a₁ - Ö D₁, D₁ = a₁ (a₁ + 4)

или a₂ > 1 + a₁ + Ö D₁.

Первое условие, как правило, не выполняется (оно отвечает очень малому увеличению максимальной потребности по сравнению с минимальной), а второе обычно выполняется. В частности, оно заведомо выполняется, если a₂ > 2 + Ö5 (так как a₁< 1).

При невыполнении этого условия рассматриваемое уравнение для v решений не имеет, прибыль убывает с ростом объема производства, и ее максимум отвечает минимальному объему производства и спроса.

Графики функций f₁ (v) и f₂ (v) при достаточно большом значении a₂ приведены на рис.9. Первая точка пересечения этих графиков отвечает максимуму прибыли и может быть рассчитана методом последовательных приближений.

Рис. 9.