Линейные свойства проекций

I. Проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию этого вектора:

{Доказательство следует из подобия. Необходимо рассмотреть 2 случая: λ > 0 и λ < 0}

II. Проекция суммы векторов сумме проекций этих векторов:

{Для доказательства следует использовать св.2 величин отрезков}

Определение 3. Линейной комбинацией векторов а ₁,…, а _п называется сумма следующего вида: , где все коэффициенты линейной комбинации.

(В общем случае, а _i − элементы некоторого множества, которые можно складывать и умножать на действительные числа)

Используя понятие линейной комбинации, можно оба линейных свойства проекций записать одной формулой: : проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.

§4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Определение 1. Система векторов { a ₁ ,…, a _n } называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ ₁ ,…,λ_n не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.

Определение 2. Система векторов { a ₁ ,…, a _n } называется линейно независимой, если ее линейная

комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами: .

Имеют место несколько простых утверждений.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). Векторы а ₁ ,…, a _n – линейно зависимы когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

{1.(необходимость: { a _k } – л.з.): Пусть, для определенности,

, т.е. а ₁ − линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: a _m – л.к.): система лин. зав.}

Теорема 2. Если один из векторов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

{0 a ₁ + … + 0 a _{n- 1} + }

Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

{ }