Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Линейные свойства проекций



I. Проекция произведения вектора на число равна произведению числа на проекцию этого вектора:

{Доказательство следует из подобия. Необходимо рассмотреть 2 случая: λ > 0 и λ < 0}

II. Проекция суммы векторов сумме проекций этих векторов:

{Для доказательства следует использовать св.2 величин отрезков}

Определение 3. Линейной комбинацией векторов а 1,…, а п называется сумма следующего вида: , где все коэффициенты линейной комбинации.

(В общем случае, а i − элементы некоторого множества, которые можно складывать и умножать на действительные числа)

Используя понятие линейной комбинации, можно оба линейных свойства проекций записать одной формулой: : проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.

§4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Определение 1. Система векторов { a 1 ,…, a n } называется линейно зависимой, если найдутся коэффициенты λ 1 ,…,λn не все равные нулю, линейная комбинация с которыми равна нулю, т.е.

Определение 2. Система векторов { a 1 ,…, a n } называется линейно независимой, если ее линейная

комбинация равна нулю только с нулевыми коэффициентами: .

Имеют место несколько простых утверждений.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости). Векторы а 1 ,…, a n – линейно зависимы когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.

{1.(необходимость: { a k } – л.з.): Пусть, для определенности,

, т.е. а 1 − линейная комбинация остальных.

2.(достаточность: a m – л.к.): система лин. зав.}

Теорема 2. Если один из векторов системы равен нулю, то вся система линейно зависима.

{0 a 1 + … + 0 a n- 1 + }

Теорема 3. Если подсистема линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

{ }





Дата публикования: 2014-10-20; Прочитано: 554 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...